Mostre que se a, b, e c são inteiros tais que m d c(a, b)=m d c(a, c)=1, então m d c(a, b c)= 1.

Passo 1

O enunciado afirma que a,b,c são inteiros com
\gcd(a,b)=1 \quad\text{e}\quad \gcd(a,c)=1
e pede para mostrar que
\gcd(a,bc)=1.
O conteúdo é teoria de números, mais precisamente o lema de Bézout para máximos divisores comuns.

Passo 2

Como \gcd(a,b)=1, pelo lema de Bézout existem inteiros x,y tais que
a x + b y = 1.
Multiplicando essa identidade por c obtemos:
a\,(x c)+b\,(y c)=c.
Ou seja,
c = a\,(x c) + b\,(y c).

Passo 3

Como \gcd(a,c)=1, pelo lema de Bézout existem inteiros u,v tais que
a u + c v = 1.
Agora substituímos a expressão de c obtida no passo anterior:
a u + \bigl[a\,(x c)+b\,(y c)\bigr]\,v = 1.
Distributindo,
a u + a\,(x c)\,v + b\,(y c)\,v = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; a\bigl(u + x c v\bigr) + b c\,(y v) = 1.

Passo 4

A última equação mostra que existe uma combinação linear inteira de a e de b c igual a 1:
1 = a\bigl(u + x c v\bigr) + (b c)\,(y v).
Pelo lema de Bézout, isso implica
\gcd\bigl(a,\,b c\bigr)=1.

Resposta

\gcd(a,bc)=1

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