Mostre que se k é um inteiro positivo, então 3 k+2 e 5 k+3, são primos entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo k, os números 3k+2 e 5k+3 têm máximo divisor comum igual a 1, isto é, são primos entre si.
Conteúdo usado: algoritmo de Euclides para calcular \gcd(a,b).

Passo 2

Aplicamos o passo do algoritmo de Euclides:
\gcd(3k+2,\;5k+3) =\gcd\bigl(3k+2,\;(5k+3)-(3k+2)\bigr) =\gcd(3k+2,\;2k+1).

Passo 3

Repetimos o procedimento sobre \gcd(3k+2,2k+1):
\gcd(3k+2,\;2k+1) =\gcd\bigl((3k+2)-(2k+1),\;2k+1\bigr) =\gcd(k+1,\;2k+1).

Passo 4

Mais uma vez:
\gcd(k+1,\;2k+1) =\gcd\bigl(k+1,\;(2k+1)-2\,(k+1)\bigr) =\gcd(k+1,\;-1) =\gcd(k+1,\;1) =1.

Resposta

Como \gcd(3k+2,5k+3)=1, concluímos que 3k+2 e 5k+3 são primos entre si para todo inteiro positivo k.

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