Mostre que
se
e
primos entre si, então
e
e
, são primos entre si.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então também
e, mais geralmente,
para todo
.
O conteúdo que vamos usar é a definição de divisor comum e as propriedades de divisibilidade.
O conteúdo que vamos usar é a definição de divisor comum e as propriedades de divisibilidade.
Passo 2
Seja
um divisor comum de
e de
. Então, por definição, temos
Passo 3
Como
, todo primo que divide
também divide
. Mas isso implica que esse primo divide
(pois, se um primo divide uma potência, ele divide a base). Logo
Passo 4
Agora
divide simultaneamente
e
. Portanto
Por hipótese
, então
. O único divisor positivo de
é
próprio, logo
Passo 5
Vimos que qualquer divisor comum
de
e
é igual a
. Pela definição de máximo divisor comum, concluímos
Em particular, para
obtemos
.
Resposta
Se
, então
e, de modo geral,
para todo
.