Mostre que
se a e b primos entre si, então a e b^{2}, a e b^{n} \operatorname{com} n \in \mathbb{N}, são primos entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \gcd(a,b)=1, então também \gcd(a,b^2)=1 e, mais geralmente, \gcd(a,b^n)=1 para todo n\in\mathbb{N}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de divisor comum e as propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Seja d um divisor comum de a e de b^n. Então, por definição, temos
d \mid a \quad\text{e}\quad d \mid b^n.

Passo 3

Como d\mid b^n, todo primo que divide d também divide b^n. Mas isso implica que esse primo divide b (pois, se um primo divide uma potência, ele divide a base). Logo d \mid b.

Passo 4

Agora d divide simultaneamente a e b. Portanto
d \mid \gcd(a,b).
Por hipótese \gcd(a,b)=1, então d\mid1. O único divisor positivo de 1 é 1 próprio, logo d=1.

Passo 5

Vimos que qualquer divisor comum d de a e b^n é igual a 1. Pela definição de máximo divisor comum, concluímos
\gcd(a,b^n)=1.
Em particular, para n=2 obtemos \gcd(a,b^2)=1.

Resposta

Se \gcd(a,b)=1, então \gcd(a,b^2)=1 e, de modo geral, \gcd(a,b^n)=1 para todo n\in\mathbb{N}.

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