Mostre que se A e B pertencem ao espaço de eventos F, então o seguinte evento também pertence:

A \cap B

Passo 1

O enunciado dá que A e B pertencem ao espaço de eventos \mathcal{F} e pede para mostrar que o evento A\cap B também pertence a \mathcal{F}.
Informações relevantes dadas:
  • Temos A\in\mathcal{F}.
  • Temos B\in\mathcal{F}.
  • Queremos provar que A\cap B\in\mathcal{F}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa estar em um espaço de eventos \mathcal{F} (ou seja, em uma \sigma-álgebra), porque essa definição é a ferramenta que vamos usar: \mathcal{F} satisfaz as três propriedades abaixo.
Definição (propriedades de \mathcal{F}):
  1. \Omega\in\mathcal{F}, onde \Omega é o espaço amostral (isso garante que há pelo menos um conjunto em \mathcal{F}).
  2. Se E\in\mathcal{F} então o complementar E^{c} também pertence a \mathcal{F}. Aqui E^{c}=\Omega\setminus E é o conjunto de todos os pontos que não estão em E.
  3. Se (E_{n})_{n\ge1} é uma sequência (finita ou contável) de conjuntos em \mathcal{F}, então \bigcup_{n\ge1} E_{n}\in\mathcal{F}. Ou seja, \mathcal{F} é fechada sob uniões contáveis.
Explicação rápida das operações:
  • A união X\cup Y contém os pontos que estão em X ou em Y (ou em ambos).
  • A interseção X\cap Y contém os pontos que estão em X e em Y ao mesmo tempo.
  • O complementar X^{c} contém os pontos que não estão em X.

Passo 3

Uma estratégia padrão para obter fechamento por interseção a partir das propriedades acima é usar as leis de De Morgan. Vamos enunciar e justificar a lei necessária: para quaisquer conjuntos A e B vale
(A\cap B)^{c} = A^{c}\cup B^{c}.
Prova elementar da igualdade (argumento por pertinência): seja x um elemento qualquer.
  • Se x\in (A\cap B)^{c}, então x\notin A\cap B. Logo x não pertence a A ou não pertence a B (ou ambos). Assim x\in A^{c} ou x\in B^{c}, isto é, x\in A^{c}\cup B^{c}.
  • Reciprocamente, se x\in A^{c}\cup B^{c}, então x\notin A ou x\notin B, logo x\notin A\cap B, isto é, x\in(A\cap B)^{c}.
Como as duas inclusões valem, temos a igualdade desejada. Essa é exatamente uma das leis de De Morgan.

Passo 4

Agora aplicamos as propriedades de \mathcal{F} passo a passo usando os dados A\in\mathcal{F} e B\in\mathcal{F}.
  1. Pela propriedade de fechamento por complementares, de A\in\mathcal{F} segue que A^{c}\in\mathcal{F}. Do mesmo modo, de B\in\mathcal{F} segue que B^{c}\in\mathcal{F}.
  2. Pela propriedade de fechamento por uniões (mesmo apenas finitas, já que é um caso particular de união contável), de A^{c}\in\mathcal{F} e B^{c}\in\mathcal{F} segue que
A^{c}\cup B^{c}\in\mathcal{F}.
  1. Pela propriedade de fechamento por complementares novamente, do fato A^{c}\cup B^{c}\in\mathcal{F} segue que
\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)^{c}\in\mathcal{F}.

Passo 5

Usando a lei de De Morgan (Passo 3) temos a identidade em bloco:
(A\cap B)^{c} = A^{c}\cup B^{c}.
Tomando complementares em ambos os lados obtemos
A\cap B = \bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)^{c}.
Pelo que mostramos no Passo 4, o conjunto \bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)^{c} pertence a \mathcal{F}. Portanto A\cap B\in\mathcal{F}.

Resposta

A\cap B\in\mathcal{F}

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