Mostre que se A e B pertencem ao espaço de eventos F, então o seguinte evento também pertence:
Passo 1
O enunciado dá que
e
pertencem ao espaço de eventos
e pede para mostrar que o evento
também pertence a
.
Informações relevantes dadas:
- Temos
. - Temos
. - Queremos provar que
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa estar em um espaço de eventos
(ou seja, em uma
-álgebra), porque essa definição é a ferramenta que vamos usar:
satisfaz as três propriedades abaixo.
Definição (propriedades de
):
-
, onde é o espaço amostral (isso garante que há pelo menos um conjunto em ). - Se
então o complementar também pertence a . Aqui é o conjunto de todos os pontos que não estão em . - Se
é uma sequência (finita ou contável) de conjuntos em , então . Ou seja, é fechada sob uniões contáveis.
Explicação rápida das operações:
- A união
contém os pontos que estão em ou em (ou em ambos). - A interseção
contém os pontos que estão em e em ao mesmo tempo. - O complementar
contém os pontos que não estão em .
Passo 3
Uma estratégia padrão para obter fechamento por interseção a partir das propriedades acima é usar as leis de De Morgan. Vamos enunciar e justificar a lei necessária: para quaisquer conjuntos
e
vale
Prova elementar da igualdade (argumento por pertinência): seja
um elemento qualquer.
- Se
, então . Logo não pertence a ou não pertence a (ou ambos). Assim ou , isto é, . - Reciprocamente, se
, então ou , logo , isto é, .
Como as duas inclusões valem, temos a igualdade desejada. Essa é exatamente uma das leis de De Morgan.
Passo 4
Agora aplicamos as propriedades de
passo a passo usando os dados
e
.
-
Pela propriedade de fechamento por complementares, de
segue que . Do mesmo modo, de segue que . -
Pela propriedade de fechamento por uniões (mesmo apenas finitas, já que é um caso particular de união contável), de
e segue que
- Pela propriedade de fechamento por complementares novamente, do fato
segue que
Passo 5
Usando a lei de De Morgan (Passo 3) temos a identidade em bloco:
Tomando complementares em ambos os lados obtemos
Pelo que mostramos no Passo 4, o conjunto
pertence a
. Portanto
.