Mostre que P(A \mid B) satisfaz aos três axiomas da probabilidade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função condicionada P(\cdot\mid B) satisfaz os três axiomas da probabilidade. As informações dadas e pressupostos que vamos usar são:
A definição de probabilidade condicional: para um evento A e um evento B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Partimos do fato conhecido de que P (a probabilidade original) satisfaz os três axiomas de probabilidade: (i) não-negatividade; (ii) normalização P(\Omega)=1; (iii) aditividade contável para eventos mutuamente disjuntos.
O objetivo é verificar, usando a definição acima, que a função que a cada evento A associa P(A\mid B) também satisfaz os três axiomas (considerando que o “novo espaço” natural é o conjunto B).
Passo 2
Explicando bem a definição que vamos usar: em P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},
A é qualquer evento (subconjunto do espaço amostral \Omega);
B é o evento dado, com P(B)>0 (essa hipótese é necessária para que a divisão faça sentido);
A\cap B é o evento “ocorre A e B”;
P(A\cap B) é a probabilidade do evento A\cap B segundo a medida original P.
A ideia intuitiva: ao condicionarmos em B, estamos restringindo o universo de possibilidades a B, e renormalizando as probabilidades dividindo por P(B).
Passo 3
Axioma 1 — não-negatividade. Vamos provar que, para todo evento A,
P(A\mid B)\ge 0.
Justificativa passo a passo:
Pelo axioma de não-negatividade da probabilidade original temos P(A\cap B)\ge 0.
Como P(B)>0, ao dividir por P(B) preservamos o sinal não-negativo.
Portanto,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge 0,
o que mostra o primeiro axioma para P(\cdot\mid B).
Passo 4
Axioma 2 — normalização. Precisamos mostrar que o evento certo, no novo universo B, tem probabilidade 1. Há duas maneiras equivalentes de dizer isto; vou provar que
Como P(B)>0, a razão vale 1.
Interpretando: dado que sabemos que B ocorreu, a probabilidade de B ocorrer é 1. Isso corresponde à normalização do novo espaço B.
Passo 5
Axioma 3 — aditividade contável (para eventos mutuamente disjuntos). Queremos provar que, se \{A_i\}_{i=1}^{\infty} é uma sequência de eventos tais que A_i\cap A_j=\emptyset para i\neq j, então
Isto é verdade porque interseção distribui sobre união.
Note também que, se A_i são mutuamente disjuntos, então A_i\cap B e A_j\cap B são mutuamente disjuntos sempre que i\neq j. (Se x\in (A_i\cap B)\cap(A_j\cap B) então x\in A_i\cap A_j, impossível.)
Pela aditividade contável da probabilidade original P aplicada à união disjunta \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_i\cap B), temos
Logo a aditividade contável é satisfeita por P(\cdot\mid B).
Passo 6
Comentário didático e resumo das propriedades demonstradas (para você levar pra prova):
Não-negatividade: porque P(A\cap B)\ge 0 e dividimos por P(B)>0.
Normalização: o evento certo dentro do universo condicionado é B e P(B\mid B)=1.
Aditividade contável: a interseção com B transforma uniões disjuntas em uniões disjuntas (dos interseccionados), e usamos a aditividade contável de P, depois renormalizamos.
Uma observação prática: sempre verifique a hipótese P(B)>0 antes de usar a definição; se P(B)=0 a probabilidade condicional não é definida pela fórmula acima.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (numérico e simples):
Suponha que P(B)=0,2 e P(A\cap B)=0,05.
Então P(A\mid B)=\dfrac{0,05}{0,2}=0,25, que é não-negativa e menor ou igual a 1. Se tivéssemos dois eventos disjuntos A_1,A_2 com P(A_1\cap B)=0,05 e P(A_2\cap B)=0,03, então
P(A\mid B)\ge 0 para todo evento A.\n2) P(B\mid B)=1.\n3) Se \{A_i\} são mutuamente disjuntos então \displaystyle P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \Bigm| B\Bigr)=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i\mid B).