Q20 - Considere o experimento que consiste um jogar uma moeda honesta repetidas vezes e contar o número de jogadas necessárias até a primeira “cara” aparecer. Encontre a probabilidade de que a primeira cara aparece na k-ésima jogada.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento e faz uma pergunta. Informações e pedidos claros:
  • Experimento: jogar uma moeda honesta repetidas vezes e contar o número de jogadas até a primeira “cara” aparecer.
  • A moeda é “honesta”, isto é, cada jogada tem a mesma chance de dar “cara” ou “coroa”.
  • Pergunta: encontrar a probabilidade de que a primeira “cara” apareça na k-ésima jogada (para k=1,2,3,\dots).
    Nada mais é pedido além dessa probabilidade.

Passo 2

Entender as probabilidades básicas e independência:
  • Como a moeda é honesta, a probabilidade de obter “cara” numa jogada é \tfrac{1}{2}. Vou chamar essa probabilidade de sucesso por jogada e denotar por p, ou seja p=\tfrac{1}{2}.
  • A probabilidade de obter “coroa” numa jogada é 1-p, portanto 1-p=\tfrac{1}{2}.
  • As jogadas são independentes: o resultado de uma jogada não altera a probabilidade das jogadas seguintes. Por isso, quando queremos a probabilidade de uma sequência de resultados (por exemplo: várias coroas seguidas e depois uma cara), multiplicamos as probabilidades dos eventos individuais (regra do produto para eventos independentes).

Passo 3

Descrever o evento “primeira cara na k-ésima jogada”:
  • Para que a primeira cara ocorra exatamente na k-ésima jogada, precisamos que as primeiras k-1 jogadas sejam todas “coroa” e que a jogada k seja “cara”.
  • Em termos de probabilidades, isso corresponde ao evento: (coroa) em jogada 1, e (coroa) em jogada 2, …, e (coroa) em jogada k-1, e (cara) em jogada k.

Passo 4

Calcular a probabilidade desse evento usando independência e multiplicação:
  • A probabilidade de uma sequência de k-1 coroas seguidas é (1-p)^{k-1}. Aqui cada “coroa” tem probabilidade 1-p e multiplicamos k-1 vezes.
  • A probabilidade de ter “cara” na k-ésima jogada é p.
  • Pela independência, a probabilidade conjunta é o produto:
P(\text{primeira cara em }k)=(1-p)^{k-1}\,p.

Passo 5

Substituir p=\tfrac{1}{2} e simplificar:
  • Colocando p=\tfrac{1}{2} obtemos
P(\text{primeira cara em }k)=\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot \tfrac{1}{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-1}\cdot \tfrac{1}{2}.
  • Multiplicando as potências de \tfrac{1}{2} resulta
P(\text{primeira cara em }k)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}.

Passo 6

Verificações e intuição com exemplos e soma das probabilidades:
  • Exemplos fáceis: para k=1 a probabilidade é \left(\tfrac{1}{2}\right)^1=\tfrac{1}{2} (é só dar cara na primeira jogada); para k=2 é \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4} (primeiro coroa, depois cara).
  • Verificação de normalização: a soma das probabilidades para k=1 até infinito deve ser 1. De fato,
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1,
usando a soma da série geométrica, então a distribuição faz sentido.

Resposta

P(\text{primeira cara em }k)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k},\qquad k=1,2,3,\dots

Exercícios relacionados