Q20 - Considere o experimento que consiste um jogar uma moeda honesta repetidas vezes e contar o número de jogadas necessárias até a primeira “cara” aparecer. Encontre a probabilidade de que a primeira cara aparece na k-ésima jogada.
Passo 1
O enunciado descreve um experimento e faz uma pergunta. Informações e pedidos claros:
- Experimento: jogar uma moeda honesta repetidas vezes e contar o número de jogadas até a primeira “cara” aparecer.
- A moeda é “honesta”, isto é, cada jogada tem a mesma chance de dar “cara” ou “coroa”.
- Pergunta: encontrar a probabilidade de que a primeira “cara” apareça na
-ésima jogada (para ).
Nada mais é pedido além dessa probabilidade.
Passo 2
Entender as probabilidades básicas e independência:
- Como a moeda é honesta, a probabilidade de obter “cara” numa jogada é
. Vou chamar essa probabilidade de sucesso por jogada e denotar por , ou seja . - A probabilidade de obter “coroa” numa jogada é
, portanto . - As jogadas são independentes: o resultado de uma jogada não altera a probabilidade das jogadas seguintes. Por isso, quando queremos a probabilidade de uma sequência de resultados (por exemplo: várias coroas seguidas e depois uma cara), multiplicamos as probabilidades dos eventos individuais (regra do produto para eventos independentes).
Passo 3
Descrever o evento “primeira cara na
-ésima jogada”:
- Para que a primeira cara ocorra exatamente na
-ésima jogada, precisamos que as primeiras jogadas sejam todas “coroa” e que a jogada seja “cara”. - Em termos de probabilidades, isso corresponde ao evento: (coroa) em jogada
, e (coroa) em jogada , …, e (coroa) em jogada , e (cara) em jogada .
Passo 4
Calcular a probabilidade desse evento usando independência e multiplicação:
- A probabilidade de uma sequência de
coroas seguidas é . Aqui cada “coroa” tem probabilidade e multiplicamos vezes. - A probabilidade de ter “cara” na
-ésima jogada é . - Pela independência, a probabilidade conjunta é o produto:
Passo 5
Substituir
e simplificar:
- Colocando
obtemos
- Multiplicando as potências de
resulta
Passo 6
Verificações e intuição com exemplos e soma das probabilidades:
- Exemplos fáceis: para
a probabilidade é (é só dar cara na primeira jogada); para é (primeiro coroa, depois cara). - Verificação de normalização: a soma das probabilidades para
até infinito deve ser . De fato,
usando a soma da série geométrica, então a distribuição faz sentido.