Mostre que se A e B são independentes então A^c e B também serão independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado dois eventos A e B independentes num mesmo espaço de probabilidade, o evento complemento de A (denotado por A^c) e B também são independentes. O assunto aqui é independência de eventos, e vamos precisar da definição básica
• Dois eventos X e Y são independentes se
P(X cap Y) = P(X),P(Y)
Além disso, vamos usar a propriedade de probabilidade do complemento e da interseção:
P(A^c cap B) = P(B) - P(A cap B)

Passo 2

Começamos expressando diretamente P(A^c ∩ B) usando a lei da probabilidade completa em relação a A e A^c:
P(A^c cap B) = P(B) - P(A cap B)
Essa fórmula sai do fato de que B é a união disjunta de (A ∩ B) com (A^c ∩ B).

Passo 3

Como A e B são independentes, vale
P(A cap B) = P(A),P(B)
Substituindo na expressão anterior e fatorando P(B), temos:
P(A^c cap B) = P(B) - P(A),P(B) = l(1 - P(A)r)P(B)
Mas 1 - P(A) = P(A^c), logo
P(A^c cap B) = P(A^c),P(B),
o que mostra que A^c e B são independentes.

Resposta

Como mostramos, P(A^c cap B)=P(A^c),P(B), logo A^c e B são independentes.

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