Mostre que se A e B são independentes então
e
também serão independentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado dois eventos A e B independentes num mesmo espaço de probabilidade, o evento complemento de A (denotado por A^c) e B também são independentes. O assunto aqui é independência de eventos, e vamos precisar da definição básica
• Dois eventos X e Y são independentes se
Além disso, vamos usar a propriedade de probabilidade do complemento e da interseção:
Passo 2
Começamos expressando diretamente P(A^c ∩ B) usando a lei da probabilidade completa em relação a A e A^c:
Essa fórmula sai do fato de que B é a união disjunta de (A ∩ B) com (A^c ∩ B).
Passo 3
Como A e B são independentes, vale
Substituindo na expressão anterior e fatorando P(B), temos:
Mas
, logo
o que mostra que A^c e B são independentes.
Resposta
Como mostramos,
, logo A^c e B são independentes.