Mostre que se A e B são dois eventos quaisquer então .

Passo 1

A questão pede para provar que, para quaisquer eventos A e B com P(B)>0, vale a relação P(Amid B)+P(A^cmid B)=1. O conteúdo principal aqui é probabilidade condicional, que define P(Amid B) em função de interseções e da probabilidade de B.

Passo 2

Começamos usando a definição de probabilidade condicional:
P(Amid B)=P(Acap B)P(B),
e de forma análoga
P(A^cmid B)=P(A^ccap B)P(B)

Passo 3

Somando essas duas expressões em um mesmo denominador, temos:
P(Amid B)+P(A^cmid B) =P(Acap B)P(B)+P(A^ccap B)P(B) =P(Acap B)+P(A^ccap B)P(B)

Passo 4

Observamos que (Acap B) e (A^ccap B) são eventos disjuntos e que
(Acap B)cup(A^ccap B)=(Acup A^c)cap B=B

Passo 5

Portanto,
P(Acap B)+P(A^ccap B)=Pl((Acap B)cup(A^ccap B)r)=P(B)

Passo 6

Substituindo no numerador, obtemos
P(Amid B)+P(A^cmid B)=P(B)P(B)=1, que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

1

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