Simplifique:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
- Pedido: simplificar essa expressão (escrever numa forma mais simples/equivalente sempre que possível).
- Observação importante que vou usar depois: toda manipulação algébrica que cancela um fator só é válida quando esse fator for diferente de zero. Aqui vai aparecer
, então atenção ao caso .
Passo 2
Anotações e identidades que vou usar (explicando devagar).
- A identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica) é
Dessa identidade segue imediatamente que
porque basta isolar
.
- Notação:
significa . Já significa .
Passo 3
Fatorar o numerador para ver se aparece um fator comum que simplifica com o denominador.
- O numerador é
. Posso fatorar em evidência:
Passo 4
Usar a identidade do Passo 2 no fator que apareceu.
- Substituindo
obtemos
- Assim a expressão original fica
Passo 5
Cancelar o fator
e discutir domínio.
- Como
aparece no numerador multiplicando e também no denominador, e lembrando que só se pode dividir por algo diferente de zero, ao cancelar obtemos (para )
- Portanto a expressão simplificada é
, válida sempre que . (Nos pontos onde a expressão original está indefinida; a forma estende a expressão por continuidade nesses pontos, mas a igualdade algébrica direta exige .)
Passo 6
Forma alternativa e checagem numérica rápida (para fixar).
- Uma forma muito usada é usar a identidade de ângulo duplo:
. Dela segue
- Exemplo numérico: para
temos , . A expressão original dá
e
. Confere.