Simplifique:
\frac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \frac{\sin x-\sin^{3}x}{\cos x}.
  • Pedido: simplificar essa expressão (escrever numa forma mais simples/equivalente sempre que possível).
  • Observação importante que vou usar depois: toda manipulação algébrica que cancela um fator só é válida quando esse fator for diferente de zero. Aqui vai aparecer \cos x, então atenção ao caso \cos x=0.

Passo 2

Anotações e identidades que vou usar (explicando devagar).
  • A identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica) é \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dessa identidade segue imediatamente que 1-\sin^{2}x=\cos^{2}x
porque basta isolar 1-\sin^{2}x.
  • Notação: \sin^{3}x significa (\sin x)^{3}. Já \sin^{2}x significa (\sin x)^{2}.

Passo 3

Fatorar o numerador para ver se aparece um fator comum que simplifica com o denominador.
  • O numerador é \sin x-\sin^{3}x. Posso fatorar \sin x em evidência:
\sin x-\sin^{3}x=\sin x\,(1-\sin^{2}x).

Passo 4

Usar a identidade do Passo 2 no fator que apareceu.
  • Substituindo 1-\sin^{2}x=\cos^{2}x obtemos
\sin x\,(1-\sin^{2}x)=\sin x\,\cos^{2}x.
  • Assim a expressão original fica
\frac{\sin x-\sin^{3}x}{\cos x}=\frac{\sin x\,\cos^{2}x}{\cos x}.

Passo 5

Cancelar o fator \cos x e discutir domínio.
  • Como \cos x aparece no numerador multiplicando \sin x e também no denominador, e lembrando que só se pode dividir por algo diferente de zero, ao cancelar obtemos (para \cos x\neq0)
\frac{\sin x\,\cos^{2}x}{\cos x}=\sin x\,\cos x.
  • Portanto a expressão simplificada é \sin x\,\cos x, válida sempre que \cos x\neq0. (Nos pontos onde \cos x=0 a expressão original está indefinida; a forma \sin x\cos x estende a expressão por continuidade nesses pontos, mas a igualdade algébrica direta exige \cos x\neq0.)

Passo 6

Forma alternativa e checagem numérica rápida (para fixar).
  • Uma forma muito usada é usar a identidade de ângulo duplo: \sin(2x)=2\sin x\cos x. Dela segue
\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin(2x).
  • Exemplo numérico: para x=\tfrac{\pi}{6} temos \sin x=\tfrac{1}{2}, \cos x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. A expressão original dá
\frac{\tfrac{1}{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{8}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\tfrac{3}{8}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4},
e \sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}. Confere.

Resposta

\sin x\cos x (válido para \cos x\neq0; equivalente também a \tfrac{1}{2}\sin(2x)).

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