Mostre que o balanceamento da equação química abaixo (estoquiometria de uma reação química) pode ser modelado por um sistema linear
\mathrm{KMnO}_{4}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}+\mathrm{NaNO}_{2} \longrightarrow \mathrm{~K}_{2} \mathrm{SO}_{4}+\mathrm{MnSO}_{4}+\mathrm{NaNO}_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos como o balanceamento da reação abaixo pode ser modelado por um sistema linear:
\mathrm{KMnO}_{4}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4}+\mathrm{NaNO}_{2}\longrightarrow \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4}+\mathrm{MnSO}_{4}+\mathrm{NaNO}_{3}+\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}
Informações relevantes dadas (espécies químicas presentes):
\mathrm{KMnO}_{4},\quad \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4},\quad \mathrm{NaNO}_{2},\quad \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4},\quad \mathrm{MnSO}_{4},\quad \mathrm{NaNO}_{3},\quad \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}.
As perguntas implícitas são:
  • Como colocar as incógnitas (os coeficientes estequiométricos) e quais equações formam o sistema linear?
  • Como resolver esse sistema para obter coeficientes inteiros mínimos que balanceiem a reação?

Passo 2

Vamos traduzir o balanceamento em incógnitas e escrever as equações de conservação de cada elemento.
  1. Definimos incógnitas (cada x_i é o coeficiente estequiométrico da espécie correspondente, conta-se moléculas):
x_{1}:\\ \mathrm{KMnO}_{4},\quad x_{2}:\\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4},\quad x_{3}:\\ \mathrm{NaNO}_{2},
x_{4}:\\ \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4},\quad x_{5}:\\ \mathrm{MnSO}_{4},\quad x_{6}:\\ \mathrm{NaNO}_{3},\quad x_{7}:\\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}.
  1. Princípio físico-matemático usado: para cada elemento químico, o número total de átomos à esquerda (reagentes) deve ser igual ao número total à direita (produtos). Cada dessas igualdades é uma equação linear nas incógnitas x_{i}. Como exemplo didático: se um reagente tem 2 átomos de H por molécula e aparece com coeficiente x, então contribui com 2x átomos de H; isso soma com as contribuições das outras espécies e deve igualar a soma dos produtos.
  2. Portanto o balanceamento se reduz a um sistema linear homogêneo do tipo
A\mathbf{x}=\mathbf{0},
onde as equações são as diferenças (Lado esquerdo menos lado direito) para cada elemento.

Passo 3

Escrevemos as equações de conservação para cada elemento presente (K, Mn, O, H, S, Na, N). Contamos o número de átomos de cada elemento em cada espécie e formamos a equação.
  • Potássio (K): \mathrm{KMnO}_{4} tem 1 K; \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4} tem 2 K. Equação:
x_{1}-2x_{4}=0.
  • Manganês (Mn): \mathrm{KMnO}_{4} tem 1 Mn; \mathrm{MnSO}_{4} tem 1 Mn. Equação:
x_{1}-x_{5}=0.
  • Oxigênio (O): contagens: \mathrm{KMnO}_{4} tem 4 O, \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} tem 4 O, \mathrm{NaNO}_{2} tem 2 O; produtos: \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4} tem 4 O, \mathrm{MnSO}_{4} tem 4 O, \mathrm{NaNO}_{3} tem 3 O, \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} tem 1 O. Equação:
4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}-4x_{4}-4x_{5}-3x_{6}-x_{7}=0.
  • Hidrogênio (H): \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} tem 2 H; \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} tem 2 H. Equação (dividindo por 2 fica mais simples):
x_{2}-x_{7}=0.
  • Enxofre (S): \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4} tem 1 S; \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4} e \mathrm{MnSO}_{4} têm 1 S cada. Equação:
x_{2}-x_{4}-x_{5}=0.
  • Sódio (Na): \mathrm{NaNO}_{2} tem 1 Na; \mathrm{NaNO}_{3} tem 1 Na. Equação:
x_{3}-x_{6}=0.
  • Nitrogênio (N): \mathrm{NaNO}_{2} tem 1 N; \mathrm{NaNO}_{3} tem 1 N. Essa equação é idêntica à de Na:
x_{3}-x_{6}=0.
Note que a equação para N é redundante (igual à de Na), então trabalharemos com as demais equações independentes.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear passo a passo (eliminação por substituição), explicando cada passo.
Partimos das equações simples:
\begin{aligned} & (1)\quad x_{1}-2x_{4}=0,\\\ & (2)\quad x_{1}-x_{5}=0,\\\ & (4)\quad x_{2}-x_{7}=0,\\\ & (5)\quad x_{2}-x_{4}-x_{5}=0,\\\ & (6)\quad x_{3}-x_{6}=0. \end{aligned}
Da (1) obtemos
x_{1}=2x_{4}.
Da (2) obtemos
x_{5}=x_{1}=2x_{4}.
Da (5) (que envolve x_{2},x_{4},x_{5}) substituímos x_{5}=2x_{4} e achamos
x_{2}=x_{4}+x_{5}=x_{4}+2x_{4}=3x_{4}.
Da (4) segue
x_{7}=x_{2}=3x_{4}.
Da (6) temos a relação simples
x_{6}=x_{3}.
Agora usamos a equação do oxigênio (a mais completa):
4x_{1}+4x_{2}+2x_{3}-4x_{4}-4x_{5}-3x_{6}-x_{7}=0.
Substituímos todas as expressões já obtidas em termos de x_{4} e x_{3}: x_{1}=2x_{4}, x_{2}=3x_{4}, x_{5}=2x_{4}, x_{6}=x_{3}, x_{7}=3x_{4}. Fazendo a substituição:
4(2x_{4})+4(3x_{4})+2x_{3}-4x_{4}-4(2x_{4})-3x_{3}-3x_{4}=0.
Calculamos termo a termo:
8x_{4}+12x_{4}+2x_{3}-4x_{4}-8x_{4}-3x_{3}-3x_{4}=0.
Agrupando os termos em x_{4} e em x_{3}:
(8+12-4-8-3)x_{4}+(2-3)x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 5x_{4}-x_{3}=0.
Logo
x_{3}=5x_{4}.
E como x_{6}=x_{3}, temos x_{6}=5x_{4}.
Resumindo todas as incógnitas em função de x_{4} (que é um parâmetro livre porque o sistema homogêneo sempre admite escala):
\begin{aligned} x_{1}&=2x_{4},\\\ x_{2}&=3x_{4},\\\ x_{3}&=5x_{4},\\\ x_{4}&=x_{4},\\\ x_{5}&=2x_{4},\\\ x_{6}&=5x_{4},\\\ x_{7}&=3x_{4}. \end{aligned}
Como queremos coeficientes inteiros mínimos positivos, escolhemos o menor inteiro positivo para x_{4}, que é x_{4}=1. Assim obtemos:
x_{1}=2,\\ x_{2}=3,\\ x_{3}=5,\\ x_{4}=1,\\ x_{5}=2,\\ x_{6}=5,\\ x_{7}=3.

Passo 5

Verificação rápida (contagem de átomos com os coeficientes encontrados) — é um passo importante para garantir que o sistema foi montado e resolvido corretamente.
  • K: LHS 2\times 1=2. RHS 1\times 2=2. OK.
  • Mn: LHS 2\times 1=2. RHS 2\times 1=2. OK.
  • Na: LHS 5\times 1=5. RHS 5\times 1=5. OK.
  • N: LHS 5\times 1=5. RHS 5\times 1=5. OK.
  • S: LHS 3\times 1=3. RHS 1\times 1 + 2\times 1 =3. OK.
  • H: LHS 3\times 2=6. RHS 3\times 2=6. OK.
  • O: LHS 2\cdot4 + 3\cdot4 + 5\cdot2 =8+12+10=30. RHS 1\cdot4 + 2\cdot4 +5\cdot3 +3\cdot1 =4+8+15+3=30. OK.
Tudo confere, então os coeficientes obtidos realmente balanceiam a reação.

Resposta

2\mathrm{KMnO}_{4}+3\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{4}+5\mathrm{NaNO}_{2}\longrightarrow \mathrm{K}_{2}\mathrm{SO}_{4}+2\mathrm{MnSO}_{4}+5\mathrm{NaNO}_{3}+3\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}

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