Mostre que o balanceamento da equação química abaixo (estoquiometria de uma reação química) pode ser modelado por um sistema linear
Passo 1
O enunciado pede que mostremos como o balanceamento da reação abaixo pode ser modelado por um sistema linear:
Informações relevantes dadas (espécies químicas presentes):
As perguntas implícitas são:
- Como colocar as incógnitas (os coeficientes estequiométricos) e quais equações formam o sistema linear?
- Como resolver esse sistema para obter coeficientes inteiros mínimos que balanceiem a reação?
Passo 2
Vamos traduzir o balanceamento em incógnitas e escrever as equações de conservação de cada elemento.
- Definimos incógnitas (cada
é o coeficiente estequiométrico da espécie correspondente, conta-se moléculas):
-
Princípio físico-matemático usado: para cada elemento químico, o número total de átomos à esquerda (reagentes) deve ser igual ao número total à direita (produtos). Cada dessas igualdades é uma equação linear nas incógnitas
. Como exemplo didático: se um reagente tem 2 átomos de H por molécula e aparece com coeficiente , então contribui com átomos de H; isso soma com as contribuições das outras espécies e deve igualar a soma dos produtos. -
Portanto o balanceamento se reduz a um sistema linear homogêneo do tipo
onde as equações são as diferenças (Lado esquerdo menos lado direito) para cada elemento.
Passo 3
Escrevemos as equações de conservação para cada elemento presente (K, Mn, O, H, S, Na, N). Contamos o número de átomos de cada elemento em cada espécie e formamos a equação.
- Potássio (K):
tem 1 K; tem 2 K. Equação:
- Manganês (Mn):
tem 1 Mn; tem 1 Mn. Equação:
- Oxigênio (O): contagens:
tem 4 O, tem 4 O, tem 2 O; produtos: tem 4 O, tem 4 O, tem 3 O, tem 1 O. Equação:
- Hidrogênio (H):
tem 2 H; tem 2 H. Equação (dividindo por 2 fica mais simples):
- Enxofre (S):
tem 1 S; e têm 1 S cada. Equação:
- Sódio (Na):
tem 1 Na; tem 1 Na. Equação:
- Nitrogênio (N):
tem 1 N; tem 1 N. Essa equação é idêntica à de Na:
Note que a equação para N é redundante (igual à de Na), então trabalharemos com as demais equações independentes.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema linear passo a passo (eliminação por substituição), explicando cada passo.
Partimos das equações simples:
Da (1) obtemos
Da (2) obtemos
Da (5) (que envolve
) substituímos
e achamos
Da (4) segue
Da (6) temos a relação simples
Agora usamos a equação do oxigênio (a mais completa):
Substituímos todas as expressões já obtidas em termos de
e
:
,
,
,
,
. Fazendo a substituição:
Calculamos termo a termo:
Agrupando os termos em
e em
:
Logo
E como
, temos
.
Resumindo todas as incógnitas em função de
(que é um parâmetro livre porque o sistema homogêneo sempre admite escala):
Como queremos coeficientes inteiros mínimos positivos, escolhemos o menor inteiro positivo para
, que é
. Assim obtemos:
Passo 5
Verificação rápida (contagem de átomos com os coeficientes encontrados) — é um passo importante para garantir que o sistema foi montado e resolvido corretamente.
- K: LHS
. RHS . OK. - Mn: LHS
. RHS . OK. - Na: LHS
. RHS . OK. - N: LHS
. RHS . OK. - S: LHS
. RHS . OK. - H: LHS
. RHS . OK. - O: LHS
. RHS . OK.
Tudo confere, então os coeficientes obtidos realmente balanceiam a reação.