Determinar o valor de k que faz com que o sistema abaixo seja indeterminado
\left\{\begin{array}{l} x-y-z=0 \\\\ 2 x+k y+2 z=0 \\\ x-2 y-2 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k\) que faz o sistema ser indeterminado (ou seja, ter infinitas soluções). O sistema fornecido é \[\begin{cases} x-y-z=0,\\[4pt] 2x+k y+2z=0,\\[4pt] x-2y-2z=0. \end{cases}
Informações relevantes que temos: as incógnitas são x,y,z\]; todas as três equações têm o termo do lado direito igual a \(0, ou seja, é um sistema homogêneo; o parâmetro k aparece apenas no coeficiente de y na segunda equação.]

Passo 2

Primeiro, uma aula curtinha e prática sobre sistemas homogêneos e indeterminação:
  • Um sistema homogêneo pode ser escrito como A\mathbf{x}=\mathbf{0}, onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{x} o vetor das incógnitas.
  • Todo sistema homogêneo é sempre compatível (tem sempre a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}).
  • Se a matriz A for invertível (ou seja, \det(A)\neq 0), a única solução é a trivial — o sistema é determinado.
  • Se \det(A)=0, a matriz é singular e o sistema homogêneo tem infinitas soluções não triviais (é indeterminado).
    Logo, para este problema basta encontrar o valor de k que faz \det(A)=0, onde A é a matriz dos coeficientes do sistema.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & k & 2\\[4pt] 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante de A usando a regra de Sarrus/expansão pela primeira linha (vou usar a fórmula padrão para 3×3):
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Substituindo os elementos a_{ij} de A:
\det(A)=1\big(k\cdot(-2)-2\cdot(-2)\big)-(-1)\big(2\cdot(-2)-2\cdot1\big)+(-1)\big(2\cdot(-2)-k\cdot1\big).
Calcule cada parte com calma:
1\big(-2k+4\big) = -2k+4,
-(-1)\big(-4-2\big) = +1\cdot(-6)= -6,
(-1)\big(-4-k\big)=4+k.
Somando as três parcelas:
\det(A)=(-2k+4)+(-6)+(4+k)= -k+2.
Portanto
\det(A)= -k+2 = 2-k.]

Passo 4

Pela explicação do Passo 2, para o sistema ser indeterminado precisamos de \det(A)=0. Assim:
2-k=0.
Resolvendo para k:
k=2.

Passo 5

Vamos verificar concretamente o que acontece quando k=2\), mostrando por eliminação que surgem variáveis livres (o que confirma infinitas soluções). Para \(k=2\) o sistema vira \[\begin{cases} x-y-z=0,\\[4pt] 2x+2y+2z=0,\\[4pt] x-2y-2z=0. \end{cases}
Escrevo a matriz aumentada (os zeros do lado direito não precisam de muita ênfase, mas vou fazer as operações nas colunas de coeficientes):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Aplicamos eliminação por linhas:
  • R_2 \leftarrow R_2-2R_1\] dá \(R_2=(0,4,4).
  • R_3 \leftarrow R_3-R_1 R_3=(0,-1,-1).
    A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 4 & 4\\[4pt] 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Observa que R_2 = -4R_3, isto é, as linhas 2 e 3 são linearmente dependentes, então só temos duas linhas independentes. Podemos usar R_3 como segunda equação independente: 0\cdot x - y - z = 0, que é
-y-z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z.
A primeira equação é x-y-z=0. Substituindo y=-z nela:
x-(-z)-z = x + z - z = x = 0.
Logo x=0, y=-z, e z é um parâmetro livre, digamos z=t\in\mathbb{R}. Assim as soluções são
(x,y,z)=(0,-t,t)=t(0,-1,1),
que formam uma infinidade (uma reta de soluções). Isso confirma que com k=2 o sistema é indeterminado.]

Passo 6

Resumo didático-final: por ser um sistema homogêneo, a condição para ter infinitas soluções é que a matriz dos coeficientes seja singular. Calculamos \det(A)=2-k e, impondo \det(A)=0, obtemos k=2. Verificamos por eliminação que para k=2 realmente aparecem variáveis livres e, portanto, infinitas soluções. Vai dando certo — respira — você já pegou o raciocínio!

Resposta

k=2

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