Determinar se os pontos A=(-1,1,0), B=(1,1,1) e C=(-2,-1,-1) são colineares ou não.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se os pontos A=(-1,1,0), B=(1,1,1) e C=(-2,-1,-1) são colineares (ou seja, estão sobre a mesma reta) ou não.
Informações dadas (listei as coordenadas explicitamente para facilitar):
A = (-1,1,0),\qquad B = (1,1,1),\qquad C = (-2,-1,-1).
Passo 2
Vamos explicar a ideia principal (devagarinho): três pontos em \mathbb{R}^3 são colineares se, ao escolher um ponto como referência (por exemplo A), os vetores \vec{AB} e \vec{AC} forem paralelos. “Paralelos” aqui quer dizer que existe um escalar t tal que
\vec{AB} = t\,\vec{AC}.
Como calcular um vetor entre dois pontos? Se P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q), então
\vec{PQ} = Q-P = (x_Q-x_P,\; y_Q-y_P,\; z_Q-z_P).
Vamos montar \vec{AB} e \vec{AC} aplicando essa fórmula.
Passo 3
Calculemos \vec{AB}:
\vec{AB} = B - A = (1-(-1),\;1-1,\;1-0) = (2,\;0,\;1).
Expliquei cada componente: primeira componente 1-(-1)=2, segunda 1-1=0, terceira 1-0=1.
Calculemos \vec{AC}:
\vec{AC} = C - A = (-2-(-1),\;-1-1,\;-1-0) = (-1,\;-2,\;-1).
De novo: primeira componente -2-(-1)=-1, segunda -1-1=-2, terceira -1-0=-1.
Passo 4
Agora testamos se existe um t tal que \vec{AB} = t\,\vec{AC}. Escrevendo componentes:
(2,\,0,\,1) = t\,(-1,\,-2,\,-1).
Isto gera três equações escalares:
2 = -t,\qquad 0 = -2t,\qquad 1 = -t.
Da segunda equação 0=-2t obtemos t=0. Substituindo t=0 na primeira equação daria 2=-0, o que é uma contradição. Portanto não existe escalar t que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Passo 5
Vou dar um segundo método (útil como verificação rápida): dois vetores são paralelos se e somente se o produto vetorial deles é o vetor nulo. Vamos calcular \vec{AB}\times\vec{AC}.
Esse vetor não é o vetor nulo (pelo menos uma componente é diferente de zero), então \vec{AB} e \vec{AC} não são paralelos. Isso confirma a conclusão do passo anterior.]