Determinar se os pontos A=(-1,1,0), B=(1,1,1) e C=(-2,-1,-1) são colineares ou não.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se os pontos A=(-1,1,0), B=(1,1,1) e C=(-2,-1,-1) são colineares (ou seja, estão sobre a mesma reta) ou não.
Informações dadas (listei as coordenadas explicitamente para facilitar):
A = (-1,1,0),\qquad B = (1,1,1),\qquad C = (-2,-1,-1).

Passo 2

Vamos explicar a ideia principal (devagarinho): três pontos em \mathbb{R}^3 são colineares se, ao escolher um ponto como referência (por exemplo A), os vetores \vec{AB} e \vec{AC} forem paralelos. “Paralelos” aqui quer dizer que existe um escalar t tal que
\vec{AB} = t\,\vec{AC}.
Como calcular um vetor entre dois pontos? Se P=(x_P,y_P,z_P) e Q=(x_Q,y_Q,z_Q), então
\vec{PQ} = Q-P = (x_Q-x_P,\; y_Q-y_P,\; z_Q-z_P).
Vamos montar \vec{AB} e \vec{AC} aplicando essa fórmula.

Passo 3

Calculemos \vec{AB}:
\vec{AB} = B - A = (1-(-1),\;1-1,\;1-0) = (2,\;0,\;1).
Expliquei cada componente: primeira componente 1-(-1)=2, segunda 1-1=0, terceira 1-0=1.
Calculemos \vec{AC}:
\vec{AC} = C - A = (-2-(-1),\;-1-1,\;-1-0) = (-1,\;-2,\;-1).
De novo: primeira componente -2-(-1)=-1, segunda -1-1=-2, terceira -1-0=-1.

Passo 4

Agora testamos se existe um t tal que \vec{AB} = t\,\vec{AC}. Escrevendo componentes:
(2,\,0,\,1) = t\,(-1,\,-2,\,-1).
Isto gera três equações escalares:
2 = -t,\qquad 0 = -2t,\qquad 1 = -t.
Da segunda equação 0=-2t obtemos t=0. Substituindo t=0 na primeira equação daria 2=-0, o que é uma contradição. Portanto não existe escalar t que satisfaça todas as três equações simultaneamente.

Passo 5

Vou dar um segundo método (útil como verificação rápida): dois vetores são paralelos se e somente se o produto vetorial deles é o vetor nulo. Vamos calcular \vec{AB}\times\vec{AC}.
Usando a regra do determinante:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] -1 & -2 & -1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \mathbf{i}(0\cdot(-1)-1\cdot(-2)) - \mathbf{j}(2\cdot(-1)-1\cdot(-1)) + \mathbf{k}(2\cdot(-2)-0\cdot(-1)).
Simplificando:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \mathbf{i}(0+2) - \mathbf{j}(-2+1) + \mathbf{k}(-4-0) = (2,\;1,\;-4).
Esse vetor não é o vetor nulo (pelo menos uma componente é diferente de zero), então \vec{AB} e \vec{AC} não são paralelos. Isso confirma a conclusão do passo anterior.]

Resposta

Não são colineares.

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