Mostre que:
Se
é um conjunto LI e
, então
é LI.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dado um conjunto
de vetores que é linearmente independente, qualquer subconjunto
também deve ser linearmente independente. O conteúdo aqui é a definição de independência linear em espaços vetoriais. Para resolver, vamos usar diretamente essa definição.
Passo 2
Recordando a definição: um conjunto de vetores
é linearmente independente se, sempre que
então todos os escalares
são zero.
Passo 3
Seja
um subconjunto de
. Suponha que exista uma combinação linear de elementos de
que dá zero:
Como cada
pertence a
, essa mesma combinação é uma combinação de elementos de
. Mas
é linearmente independente, logo todos os coeficientes
devem ser zero.
Passo 4
Concluímos que não existe combinação não-trivial de vetores de
que resulte em zero. Isso mostra que
satisfaz a definição de independência linear.
Resposta
Qualquer subconjunto
de um conjunto
linearmente independente também é linearmente independente.