Mostre que:
Se A é um conjunto LI e B \subseteq A, então B é LI.

Passo 1

O enunciado afirma que, dado um conjunto A de vetores que é linearmente independente, qualquer subconjunto B\subseteq A também deve ser linearmente independente. O conteúdo aqui é a definição de independência linear em espaços vetoriais. Para resolver, vamos usar diretamente essa definição.

Passo 2

Recordando a definição: um conjunto de vetores S=\{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente se, sempre que
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = 0,
então todos os escalares \alpha_1,\dots,\alpha_n são zero.

Passo 3

Seja B=\{b_1,\dots,b_m\} um subconjunto de A. Suponha que exista uma combinação linear de elementos de B que dá zero:
\beta_1 b_1 + \beta_2 b_2 + \cdots + \beta_m b_m = 0.
Como cada b_j pertence a A, essa mesma combinação é uma combinação de elementos de A. Mas A é linearmente independente, logo todos os coeficientes \beta_1,\dots,\beta_m devem ser zero.

Passo 4

Concluímos que não existe combinação não-trivial de vetores de B que resulte em zero. Isso mostra que B satisfaz a definição de independência linear.

Resposta

Qualquer subconjunto B de um conjunto A linearmente independente também é linearmente independente.

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