Mostre que:
(c) 5+9+13+\cdots+(4 n+1)=n(2 n+3), \forall n \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\ge 1, a soma dos n primeiros termos da sequência
5,\,9,\,13,\dots,4n+1
é dada por
5+9+13+\cdots+(4n+1)=n(2n+3).
O conteúdo envolvido é soma de progressão aritmética (PA).

Passo 2

Identificamos que essa sequência é uma PA de primeiro termo
a_1=5
e razão
d=4.
O k-ésimo termo é
a_k=4k+1,
logo o último termo (o n-ésimo) é
a_n=4n+1.
Denotemos
S(n)=\sum_{k=1}^{n}a_k=5+9+13+\cdots+(4n+1).

Passo 3

Usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:
S(n)=\frac{n}{2}\bigl(a_1+a_n\bigr).
Substituindo a_1=5 e a_n=4n+1, vem
S(n)=\frac{n}{2}\bigl(5+(4n+1)\bigr) =\frac{n}{2}(4n+6) =\;n(2n+3).

Passo 4

Chegamos ao resultado desejado, isto é, para todo n\ge1
5+9+13+\cdots+(4n+1)=n(2n+3).

Resposta

5+9+13+\cdots+(4n+1)=n(2n+3),\quad\forall n\ge1.

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