Seja T: R^{2} \rightarrow R^{2} um operador linear definido por T(x, y)=(4 x+7 y,-20 x+74 y)
a) Determine os autovalores de T
b) Determine os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (4x + 7y,\;-20x + 74y).
Para achar os autovalores, vamos escrever a matriz associada a T e resolver \det(A - \lambda I)=0. Em seguida, para cada autovalor \lambda, vamos encontrar vetores não-nulos v tais que (A - \lambda I)v=0, o que nos dá os autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\[6pt] -20 & 74 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 4-\lambda & 7 \\[3pt] -20 & 74-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante:
p(\lambda) = (4-\lambda)(74-\lambda) - (7)(-20) = (4-\lambda)(74-\lambda) + 140.
Expandindo,
(4-\lambda)(74-\lambda) = 296 - 78\lambda + \lambda^2,
então
p(\lambda) = \lambda^2 -78\lambda + 296 + 140 = \lambda^2 -78\lambda + 436.

Passo 4

Para resolver p(\lambda)=0, calculamos o discriminante:
\Delta = (-78)^2 - 4\cdot1\cdot436 = 6084 - 1744 = 4340 = 4\cdot1085.
Logo,
\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{1085},
e as raízes são
\lambda = \frac{78 \pm 2\sqrt{1085}}{2} = 39 \pm \sqrt{1085}.

Passo 5

Portanto, os autovalores são
\lambda_1 = 39 + \sqrt{1085}, \quad \lambda_2 = 39 - \sqrt{1085}.

Passo 6

Para cada \lambda_i, resolvemos
(A - \lambda_i I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem
(4-\lambda_i)x + 7y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7y = (\lambda_i -4)x.
Escolhendo x=7, obtemos
y = \lambda_i - 4.
Assim, um autovetor associado a \lambda_i é
v_i = \begin{pmatrix}7 \\[3pt] \lambda_i - 4\end{pmatrix}.
Substituindo cada valor de \lambda_i, temos os dois autovetores.]

Resposta

(a) \lambda_1 = 39 + \sqrt{1085}, \lambda_2 = 39 - \sqrt{1085}.
(b) Para \lambda_1, um autovetor é
\displaystyle v_1 = \bigl(7,\;35+\sqrt{1085}\bigr),
e para \lambda_2, um autovetor é
\displaystyle v_2 = \bigl(7,\;35-\sqrt{1085}\bigr).

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