Seja
um operador linear definido por
a) Determine os autovalores de
b) Determine os autovetores de
.
a) Determine os autovalores de
b) Determine os autovetores de
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
Para achar os autovalores, vamos escrever a matriz associada a
e resolver
. Em seguida, para cada autovalor
, vamos encontrar vetores não-nulos
tais que
, o que nos dá os autovetores.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
O polinômio característico é
Passo 3
Calculamos o determinante:
Expandindo,
então
Passo 4
Para resolver
, calculamos o discriminante:
Logo,
e as raízes são
Passo 5
Portanto, os autovalores são
Passo 6
Para cada
, resolvemos
Da primeira linha vem
Escolhendo
, obtemos
Assim, um autovetor associado a
é
Substituindo cada valor de
, temos os dois autovetores.]
Resposta
(a)
,
.
(b) Para
, um autovetor é
,
e para , um autovetor é
.
e para