Mostre que o operador T de R^{2} dado por T(x, y)=(x+\frac{\sqrt{3}}{2} y,-\frac{\sqrt{3}}{2}x+y) admite autovalores em R.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\qquad T(x,y)=\bigl(x+\tfrac{\sqrt{3}}{2}y,\,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}x+y\bigr)
e pede para investigar se existem autovalores em \mathbb{R}. Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica e estudar seu polinômio característico.

Passo 2

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{pmatrix}
Porque
T(1,0)=(1, -\tfrac{\sqrt{3}}{2}),\quad T(0,1)=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},1).
]

Passo 3

Um autovalor \lambda\in\mathbb{R} satisfaz
\det(A-\lambda I)=0.
Calculamos
A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[3pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 1-\lambda \end{pmatrix}
e portanto
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)^2 -\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =(1-\lambda)^2+\tfrac{3}{4}.
]

Passo 4

O polinômio característico é
(1-\lambda)^2+\tfrac{3}{4}=0 \;\Longleftrightarrow\; (1-\lambda)^2=-\tfrac{3}{4}.
O lado direito é negativo, logo não há solução real \lambda. Em outras palavras, o discriminante
\Delta = 0^2 -4\cdot1\cdot\tfrac{3}{4} = -3 <0
impede raízes reais.

Resposta

O operador T não admite autovalores em \mathbb{R}.

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