Mostre que o operador
de
dado por
admite autovalores em
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede para investigar se existem autovalores em
. Para isso, vamos escrever a matriz de
na base canônica e estudar seu polinômio característico.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é
Porque
]
Passo 3
Um autovalor
satisfaz
Calculamos
e portanto
]
Passo 4
O polinômio característico é
O lado direito é negativo, logo não há solução real
. Em outras palavras, o discriminante
impede raízes reais.
Resposta
O operador
não admite autovalores em
.