Mostre, em cada caso, que os pontos são os vértices de um triângulo retângulo. e
Passo 1
O enunciado dá os pontos no espaço
e pede para mostrar que eles formam um triângulo retângulo. O conteúdo usado será produto escalar de vetores em e a condição de ortogonalidade: dois vetores são perpendiculares se, e só se, seu produto escalar for zero.
Passo 2
Escolhemos dois vetores que se encontram no vértice onde suspeitamos o ângulo reto. Por exemplo, no vértice tomamos
Passo 3
Calculamos esses vetores coordenada a coordenada:
CA=(2-3,,-1+4,,1+4)=(-1,,3,,5),
CB=(1-3,,-3+4,,-5+4)=(-2,,1,,-1)
Passo 4
Agora o produto escalar
CAcdotCB =(-1)cdot(-2)+3cdot1+5cdot(-1) =2+3-5=0
Como o produto escalar é zero, concluímos que CAperpCB, ou seja, o ângulo ang<= ACB é reto.
Resposta
Os pontos A,B,C formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto em C.