Mostre, em cada caso, que os pontos A, B, C são os vértices de um triângulo retângulo.
A=(2,-1,1), B=(1,-3,-5) e C=(3,-4,-4)

Passo 1

O enunciado dá os pontos no espaço
A=(2,-1,1), B=(1,-3,-5), C=(3,-4,-4)
e pede para mostrar que eles formam um triângulo retângulo. O conteúdo usado será produto escalar de vetores em R^3 e a condição de ortogonalidade: dois vetores são perpendiculares se, e só se, seu produto escalar for zero.

Passo 2

Escolhemos dois vetores que se encontram no vértice onde suspeitamos o ângulo reto. Por exemplo, no vértice C tomamos
CA=A-C, CB=B-C

Passo 3

Calculamos esses vetores coordenada a coordenada:
CA=(2-3,,-1+4,,1+4)=(-1,,3,,5),
CB=(1-3,,-3+4,,-5+4)=(-2,,1,,-1)

Passo 4

Agora o produto escalar
CAcdotCB =(-1)cdot(-2)+3cdot1+5cdot(-1) =2+3-5=0
Como o produto escalar é zero, concluímos que CAperpCB, ou seja, o ângulo ang<= ACB é reto.

Resposta

Os pontos A,B,C formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto em C.

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