Questão 1. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas (1,0 pontos cada item).
(b) O conjunto t^2-1, t+1, t+2 6 linearmente Independente em P2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
,t^2-1,;t+1,;t+2
é linearmente independente em P2.
Para isso, vamos usar a definição: esses polinômios são independentes se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
a,(t^2-1);+;b,(t+1);+;c,(t+2);=;0,
onde 0 é o polinômio nulo em P2.

Passo 3

Expandimos o lado esquerdo e coletamos termos semelhantes:
a,t^2-a ;+;b,t + b ;+;c,t + 2c ;=; a,t^2 + (b+c),t +l(-a + b + 2cr) ;=;0

Passo 4

Igualamos cada coeficiente ao do polinômio zero:
a = 0, b + c = 0, -a + b + 2c = 0

Passo 5

Substituindo a=0 nas outras duas equações, temos
b + c = 0, b + 2c = 0
Da primeira segue b = -c. Colocando em b+2c=0 -c +2c=0Rightarrow c=0, e então b=0.
Logo, a única solução é a=b=c=0, ou seja, a combinação é trivial.

Resposta

Verdadeiro.

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