Questão 1. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando claramente cada uma de suas respostas (1,0 pontos cada item).
(b) O conjunto linearmente Independente em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
é linearmente independente em .
Para isso, vamos usar a definição: esses polinômios são independentes se a única combinação linear que dá o polinômio zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
onde é o polinômio nulo em .
Passo 3
Expandimos o lado esquerdo e coletamos termos semelhantes:
Passo 4
Igualamos cada coeficiente ao do polinômio zero:
Passo 5
Substituindo a=0 nas outras duas equações, temos
b + c = 0, b + 2c = 0
Da primeira segue b = -c. Colocando em b+2c=0 dá -c +2c=0Rightarrow c=0, e então b=0.
Logo, a única solução é a=b=c=0, ou seja, a combinação é trivial.