Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
ou seja, dizer se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge, e justificar essa resposta. Informações dadas explicitamente: o termo geral é
para
. Nada mais foi fornecido, então vamos trabalhar com essa expressão do termo geral.
Passo 2
Antes de começar a manipular, vamos lembrar o que cada classificação significa (explicação didática e sem jargões complicados).
- Convergência absoluta: a série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge. Aqui cada símbolo:
é o termo geral da série que somamos; é o valor absoluto desse termo; significa somar de até infinito. - Convergência condicional: a série
converge, mas a série diverge. Ou seja, converge só porque termos podem cancelar, mas não quando tomamos valores absolutos. - Divergência: a série não converge (as somas parciais não tendem a um número finito).
Também vamos usar dois fatos padrão que vou explicar:
- Série p (p-series):
converge se, e só se, . Ex.: diverge (porque ), converge (porque ). - Teste da comparação por limite (limit comparison test): se
e e com , então converge se, e só se, converge. Em palavras: se dois termos positivos têm razão que tende a uma constante positiva, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 3
Verificar o sinal dos termos (isso é importante para aplicar testes de comparação e para discutir valor absoluto). Para
temos
, portanto
Logo
Observação: em
dá
, mas para
os termos são estritamente positivos. Como
, a série é de termos não negativos, e por isso
. Ou seja, convergência absoluta é equivalente a convergência simples aqui — se a série convergisse em valores absolutos, seria a mesma série.
Passo 4
Aplicar o teste da comparação por limite com a p-série
. Calcule a razão:
Agora tome o limite quando
:
Esse limite é um número finito e positivo (
), então pelo teste da comparação por limite
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).
Passo 5
Saber o comportamento de
. Isto é uma p-série com
. Pelo fato lembrado no Passo 2, p-séries só convergem quando
. Como aqui
, a série
diverge. Então, pela conclusão do Passo 4 (mesmo comportamento), a série
também diverge.
Passo 6
Complemento de entendimento (uma prova alternativa e intuitiva): para ver diretamente que os termos não são preocupantemente canceladores — como
— basta notar que para
temos
, então
Logo a cauda da série
é maior termo a termo que
, e como
diverge, a nossa série também diverge. Isso reforça o resultado do teste por limite com uma comparação direta.
Passo 7
Concluir sobre convergência absoluta/condicional: como os termos são não negativos,
. Visto que
diverge, a série não converge absolutamente. Também não converge condicionalmente, porque “condicionalmente” só faz sentido quando a série original converge mas a série dos valores absolutos diverge — aqui a original já diverge. Portanto não é nem condicionalmente convergente nem absolutamente convergente: simplesmente diverge.
Resposta
A série diverge; não converge nem condicionalmente nem absolutamente.