Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}\right)
ou seja, dizer se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge, e justificar essa resposta. Informações dadas explicitamente: o termo geral é \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n} para n=1,2,3,\dots. Nada mais foi fornecido, então vamos trabalhar com essa expressão do termo geral.

Passo 2

Antes de começar a manipular, vamos lembrar o que cada classificação significa (explicação didática e sem jargões complicados).
  • Convergência absoluta: a série \sum a_n converge absolutamente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge. Aqui cada símbolo:
    \displaystyle a_n é o termo geral da série que somamos; |a_n| é o valor absoluto desse termo; \sum significa somar de n=1 até infinito.
  • Convergência condicional: a série \sum a_n converge, mas a série \sum |a_n| diverge. Ou seja, converge só porque termos podem cancelar, mas não quando tomamos valores absolutos.
  • Divergência: a série não converge (as somas parciais não tendem a um número finito).
Também vamos usar dois fatos padrão que vou explicar:
  1. Série p (p-series): \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e só se, p>1. Ex.: \sum 1/n diverge (porque p=1), \sum 1/n^{2} converge (porque p=2).
  2. Teste da comparação por limite (limit comparison test): se a_n>0 e b_n>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e só se, \sum b_n converge. Em palavras: se dois termos positivos têm razão que tende a uma constante positiva, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 3

Verificar o sinal dos termos (isso é importante para aplicar testes de comparação e para discutir valor absoluto). Para n\ge 1 temos \sqrt{n}\le n, portanto
\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\frac{1}{n}.
Logo
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{n}\ge 0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Observação: em n=1 a_1=1-1=0, mas para n\ge2 os termos são estritamente positivos. Como a_n\ge0, a série é de termos não negativos, e por isso \sum |a_n|=\sum a_n. Ou seja, convergência absoluta é equivalente a convergência simples aqui — se a série convergisse em valores absolutos, seria a mesma série.

Passo 4

Aplicar o teste da comparação por limite com a p-série \displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{1}{n^{1/2}}. Calcule a razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =1-\frac{1}{\sqrt{n}}.
Agora tome o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=1.
Esse limite é um número finito e positivo ( L=1), então pelo teste da comparação por limite \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).

Passo 5

Saber o comportamento de \sum b_n=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum \dfrac{1}{n^{1/2}}. Isto é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1. Pelo fato lembrado no Passo 2, p-séries só convergem quando p>1. Como aqui p=\tfrac{1}{2}, a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge. Então, pela conclusão do Passo 4 (mesmo comportamento), a série \sum a_n também diverge.

Passo 6

Complemento de entendimento (uma prova alternativa e intuitiva): para ver diretamente que os termos não são preocupantemente canceladores — como a_n\ge0 — basta notar que para n\ge 4 temos \dfrac{1}{\sqrt{n}}\le\tfrac{1}{2}, então
a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{n}}.
Logo a cauda da série \sum a_n é maior termo a termo que \tfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}, e como \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge, a nossa série também diverge. Isso reforça o resultado do teste por limite com uma comparação direta.

Passo 7

Concluir sobre convergência absoluta/condicional: como os termos são não negativos, \sum |a_n|=\sum a_n. Visto que \sum a_n diverge, a série não converge absolutamente. Também não converge condicionalmente, porque “condicionalmente” só faz sentido quando a série original converge mas a série dos valores absolutos diverge — aqui a original já diverge. Portanto não é nem condicionalmente convergente nem absolutamente convergente: simplesmente diverge.

Resposta

A série diverge; não converge nem condicionalmente nem absolutamente.

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