Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum \frac{2+\cos n}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos n}{3^{n}}
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Cada termo da série é a_n=\dfrac{2+\cos n}{3^{n}}.
  • Sabemos que \cos n está entre -1 e 1, logo 2+\cos n está entre 1 e 3.
  • Não há figura nem tabela; só essa expressão dos termos.

Passo 2

Vamos manipular a expressão e usar uma desigualdade simples para entendermos o comportamento dos termos. Como \cos n\in[-1,1], temos
1 \le 2+\cos n \le 3.
Como o numerador é sempre positivo, o módulo do termo é simplesmente o próprio termo:
\left|\frac{2+\cos n}{3^{n}}\right|=\frac{2+\cos n}{3^{n}}.
Ou seja, estamos diante de uma série de termos não negativos.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação (versão para séries com termos não negativos). Se 0\le a_n \le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui podemos comparar com uma série geométrica fácil de analisar. Usando a desigualdade do passo anterior:
0 \le \frac{2+\cos n}{3^{n}} \le \frac{3}{3^{n}}.
A série à direita é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}, pois
\frac{3}{3^{n}} = 3\cdot\frac{1}{3^{n}} = 3\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Lembrando a fórmula e o critério da série geométrica: a série
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1, e então
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\dfrac{1}{3} com |r|<1, então \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} converge. Multiplicando por 3 também converge, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n}}
é convergente.

Passo 4

Pelo teste da comparação (do passo 3), como 0\le \dfrac{2+\cos n}{3^{n}} \le \dfrac{3}{3^{n}} e a série \sum \dfrac{3}{3^{n}} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{3^{n}}
também converge. Como já observamos que \left|\dfrac{2+\cos n}{3^{n}}\right|=\dfrac{2+\cos n}{3^{n}}, a série dos módulos converge também. Isso significa que a série converge absolutamente.

Passo 5

(Exemplo extra, para fixar a ideia: cálculo da soma exata — opcional) Podemos decompor a série em duas partes:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{3^{n}}.
A primeira soma é geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}=2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=2\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=1.
A segunda soma pode ser vista como a parte real de uma série geométrica complexa:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{3^{n}}=\Re\!\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i}}{3}\right)^{n}\right) =\Re\!\left(\frac{e^{i}/3}{1-e^{i}/3}\right) =\Re\!\left(\frac{e^{i}}{3-e^{i}}\right).
Fazendo as contas (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado) obtém‑se uma expressão real fechada, mas isso não é necessário para concluir sobre convergência. O importante é que ambas as somas convergem, então a soma total é finita.

Resposta

Converge absolutamente.

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