Ou seja, estamos diante de uma série de termos não negativos.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da comparação (versão para séries com termos não negativos). Se 0\le a_n \le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui podemos comparar com uma série geométrica fácil de analisar. Usando a desigualdade do passo anterior:
0 \le \frac{2+\cos n}{3^{n}} \le \frac{3}{3^{n}}.
A série à direita é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}, pois
Lembrando a fórmula e o critério da série geométrica: a série
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1, e então
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\dfrac{1}{3} com |r|<1, então \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} converge. Multiplicando por 3 também converge, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n}}
é convergente.
Passo 4
Pelo teste da comparação (do passo 3), como 0\le \dfrac{2+\cos n}{3^{n}} \le \dfrac{3}{3^{n}} e a série \sum \dfrac{3}{3^{n}} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{3^{n}}
também converge. Como já observamos que \left|\dfrac{2+\cos n}{3^{n}}\right|=\dfrac{2+\cos n}{3^{n}}, a série dos módulos converge também. Isso significa que a série converge absolutamente.
Passo 5
(Exemplo extra, para fixar a ideia: cálculo da soma exata — opcional) Podemos decompor a série em duas partes:
Fazendo as contas (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado) obtém‑se uma expressão real fechada, mas isso não é necessário para concluir sobre convergência. O importante é que ambas as somas convergem, então a soma total é finita.