Mostre que \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)}=1. Use o critério de comparação para provar que \sum \frac{1}{n^{2}} é convergente.

Passo 1

O enunciado tem duas perguntas claras:
  1. Mostrar que \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)} = 1.
  2. Usar o critério de comparação para provar que \displaystyle \sum \frac{1}{n^{2}} é convergente.
Informações dadas que vamos usar:
  • A primeira série é a soma de termos \displaystyle \frac{1}{n(n-1)} para n variando de 2 até +\infty.
  • A segunda série é a soma de termos \displaystyle \frac{1}{n^{2}} (assumimos a partir de n=1 ou n=2; para convergência isso não altera o argumento).
  • Os termos são todos não negativos, então podemos aplicar o critério de comparação direto.

Passo 2

Vamos começar com a soma \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)}. A ideia é decompor cada termo em frações parciais para aparecer um cancelamento telescópico. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{n(n-1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n}.
Multiplicando ambos os lados por n(n-1) obtemos
1 = A n + B(n-1).
Isso deve valer para todo n. Vamos determinar A e B.

Passo 3

Para achar A e B podemos comparar coeficientes ou escolher valores convenientes de n. Tomando n=1 (não é índice da soma, mas serve para determinar constantes na identidade algébrica),
1 = A\cdot 1 + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Comparando coeficientes (ou substituindo outro n) temos A+B=0, logo B=-1. Portanto a decomposição é
\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.

Passo 4

Agora somamos de n=2 até n=N e observamos o telescopamento:
\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right).
Escrevendo alguns termos explicita-se o cancelamento:
\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}\right).
Quase tudo cancela; sobra apenas
\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n(n-1)} = 1 - \frac{1}{N}.

Passo 5

Tomando o limite quando N\to+\infty temos \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}=0. Portanto
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}=\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N}\right)=1.
(Observação rápida: \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}=0 porque os inversos de inteiros crescentes tendem a zero; é um limite básico.)

Passo 6

Agora o critério de comparação. Vou enunciar a versão que usamos: se (a_n) e (b_n) são sequências de termos não negativos com 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice, e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. A ideia intuitiva é que as somas parciais de a_n ficam sempre abaixo das somas parciais de b_n, que são finitas no limite.

Passo 7

Vamos comparar os termos \displaystyle \frac{1}{n^{2}} e \displaystyle \frac{1}{n(n-1)} para n\ge 2. Observe que para n\ge 2
n(n-1)=n^{2}-n \le n^{2},
logo tomando recíprocos (tudo positivo) obtemos
\frac{1}{n^{2}} \le \frac{1}{n(n-1)}.
Assim para todo n\ge 2 temos 0\le \dfrac{1}{n^{2}} \le \dfrac{1}{n(n-1)}.

Passo 8

Como mostramos na parte anterior que \displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)} converge (e o valor é 1), pelo critério de comparação direto segue que a série
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}
também converge. Isso prova que \displaystyle \sum \frac{1}{n^{2}} é convergente. (Se preferir, estendendo ou ignorando o termo n=1 não muda a convergência.)

Resposta

\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n-1)}=1
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}} é convergente.

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