Mostre que
. Use o critério de comparação para provar que
é convergente.
Passo 1
O enunciado tem duas perguntas claras:
- Mostrar que
. - Usar o critério de comparação para provar que
é convergente.
Informações dadas que vamos usar:
- A primeira série é a soma de termos
para variando de até . - A segunda série é a soma de termos
(assumimos a partir de ou ; para convergência isso não altera o argumento). - Os termos são todos não negativos, então podemos aplicar o critério de comparação direto.
Passo 2
Vamos começar com a soma
. A ideia é decompor cada termo em frações parciais para aparecer um cancelamento telescópico. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isso deve valer para todo
. Vamos determinar
e
.
Passo 3
Para achar
e
podemos comparar coeficientes ou escolher valores convenientes de
. Tomando
(não é índice da soma, mas serve para determinar constantes na identidade algébrica),
Comparando coeficientes (ou substituindo outro
) temos
, logo
. Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora somamos de
até
e observamos o telescopamento:
Escrevendo alguns termos explicita-se o cancelamento:
Quase tudo cancela; sobra apenas
Passo 5
Tomando o limite quando
temos
. Portanto
(Observação rápida:
porque os inversos de inteiros crescentes tendem a zero; é um limite básico.)
Passo 6
Agora o critério de comparação. Vou enunciar a versão que usamos: se
e
são sequências de termos não negativos com
para todo
a partir de algum índice, e se
converge, então
também converge. A ideia intuitiva é que as somas parciais de
ficam sempre abaixo das somas parciais de
, que são finitas no limite.
Passo 7
Vamos comparar os termos
e
para
. Observe que para
logo tomando recíprocos (tudo positivo) obtemos
Assim para todo
temos
.
Passo 8
Como mostramos na parte anterior que
converge (e o valor é
), pelo critério de comparação direto segue que a série
também converge. Isso prova que
é convergente. (Se preferir, estendendo ou ignorando o termo
não muda a convergência.)