Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume
terá a menor área de superfície se for cúbica. Não use o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse exercício. P=23
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, entre todas as caixas retangulares fechadas (isto é, com tampa) que têm volume fixo
, a que tem menor área de superfície é a caixa cúbica. O enunciado dá o valor numérico do volume:
. Informações relevantes: a caixa tem arestas positivas e três dimensões retangulares (vamos chamá-las de
,
,
), o volume é fixo e igual a
, e queremos minimizar a área total da superfície (incluindo tampa).
Passo 2
Definimos as variáveis e as fórmulas básicas que vamos usar. Seja
,
e
as arestas da caixa (comprimento, largura e altura).
O volume é a área da base vezes a altura, então a condição do problema é
O volume é a área da base vezes a altura, então a condição do problema é
A área de superfície de uma caixa retangular fechada (com tampa) é a soma das áreas das seis faces: duas vezes cada produto de pares de arestas. Logo, a área
é
Nosso objetivo: minimizar
sob a restrição
.
Passo 3
Estratégia escolhida (simples e elegante): vamos usar a desigualdade A.M.-G.M. (média aritmética ≥ média geométrica) aplicada a três números positivos. Vou explicar o que é essa desigualdade e por que serve aqui. A desigualdade A.M.-G.M. para três números positivos
afirma que
com igualdade se, e somente se,
. Em palavras: dados três números positivos, a média aritmética deles é maior ou igual à raiz cúbica do produto (a média geométrica). Essa desigualdade é frequentemente usada para relacionar soma e produto quando o produto é fixo — exatamente o nosso caso (vamos transformar os termos de
em coisas cujo produto é conhecido).
Passo 4
Para aplicar a A.M.-G.M. de forma conveniente, definimos novos números (todos positivos):
Esses três números aparecem dentro da expressão de
. Calculamos o produto
:
Usando a restrição
, obtemos
Portanto, os três números
têm produto fixo igual a
.
Passo 5
Agora aplicamos a A.M.-G.M. aos três números
. Pela A.M.-G.M.:
Substituindo
dá
Multiplicando por 3,
Lembre que
. Assim obtemos um limite inferior para
:
A condição de igualdade na A.M.-G.M. diz que a soma atinge esse mínimo exatamente quando
, isto é,
Passo 6
Mostramos que
implica
(por que isso garante que a caixa é cúbica). Se
e
, então dividindo por
obtemos
. Se
e
, então substituindo
em
dá
. Como
podemos dividir por
e obter
. Portanto
. Logo, a igualdade que minimiza
corresponde exatamente à caixa com as três arestas iguais — uma caixa cúbica.
Passo 7
Concluímos que a área mínima é
e ocorre quando as arestas são iguais a
Agora usamos o valor numérico
. O lado do cubo que minimiza a área é
A área mínima é
(Coloquei aproximações com quatro algarismos significativos.)