Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume P terá a menor área de superfície se for cúbica. Não use o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver esse exercício. P=23

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, entre todas as caixas retangulares fechadas (isto é, com tampa) que têm volume fixo P, a que tem menor área de superfície é a caixa cúbica. O enunciado dá o valor numérico do volume: P=23. Informações relevantes: a caixa tem arestas positivas e três dimensões retangulares (vamos chamá-las de x, y, z), o volume é fixo e igual a P, e queremos minimizar a área total da superfície (incluindo tampa).

Passo 2

Definimos as variáveis e as fórmulas básicas que vamos usar. Seja x>0, y>0 e z>0 as arestas da caixa (comprimento, largura e altura).
O volume é a área da base vezes a altura, então a condição do problema é
xyz = P.
A área de superfície de uma caixa retangular fechada (com tampa) é a soma das áreas das seis faces: duas vezes cada produto de pares de arestas. Logo, a área S é
S = 2(xy + xz + yz).
Nosso objetivo: minimizar S sob a restrição xyz=P.

Passo 3

Estratégia escolhida (simples e elegante): vamos usar a desigualdade A.M.-G.M. (média aritmética ≥ média geométrica) aplicada a três números positivos. Vou explicar o que é essa desigualdade e por que serve aqui. A desigualdade A.M.-G.M. para três números positivos a,b,c afirma que
\frac{a+b+c}{3} \ge (abc)^{1/3},
com igualdade se, e somente se, a=b=c. Em palavras: dados três números positivos, a média aritmética deles é maior ou igual à raiz cúbica do produto (a média geométrica). Essa desigualdade é frequentemente usada para relacionar soma e produto quando o produto é fixo — exatamente o nosso caso (vamos transformar os termos de S em coisas cujo produto é conhecido).

Passo 4

Para aplicar a A.M.-G.M. de forma conveniente, definimos novos números (todos positivos):
a := xy,\qquad b := xz,\qquad c := yz.
Esses três números aparecem dentro da expressão de S. Calculamos o produto abc:
abc = (xy)(xz)(yz) = x^2 y^2 z^2 = (xyz)^2.
Usando a restrição xyz = P, obtemos
abc = P^2.
Portanto, os três números a,b,c têm produto fixo igual a P^2.

Passo 5

Agora aplicamos a A.M.-G.M. aos três números a,b,c. Pela A.M.-G.M.:
\frac{a+b+c}{3} \ge (abc)^{1/3}.
Substituindo abc=P^2
\frac{a+b+c}{3} \ge (P^2)^{1/3} = P^{2/3}.
Multiplicando por 3,
a+b+c \ge 3P^{2/3}.
Lembre que S = 2(a+b+c). Assim obtemos um limite inferior para S:
S = 2(a+b+c) \ge 2\cdot 3P^{2/3} = 6P^{2/3}.
A condição de igualdade na A.M.-G.M. diz que a soma atinge esse mínimo exatamente quando a=b=c, isto é,
xy = xz = yz.

Passo 6

Mostramos que xy=xz=yz implica x=y=z (por que isso garante que a caixa é cúbica). Se xy=xz e x>0, então dividindo por x obtemos y=z. Se y=z e yz=xy, então substituindo z=y em yz=xy y^2=xy. Como y>0 podemos dividir por y e obter y=x. Portanto x=y=z. Logo, a igualdade que minimiza S corresponde exatamente à caixa com as três arestas iguais — uma caixa cúbica.

Passo 7

Concluímos que a área mínima é
S_{\min} = 6P^{2/3},
e ocorre quando as arestas são iguais a
x=y=z = s,\qquad s^3 = P \implies s = P^{1/3}.
Agora usamos o valor numérico P=23. O lado do cubo que minimiza a área é
s = \sqrt[3]{23}\approx 2,8439.
A área mínima é
S_{\min} = 6\cdot 23^{2/3} \approx 48,52.
(Coloquei aproximações com quatro algarismos significativos.)

Resposta

x=y=z=\sqrt[3]{23}\approx 2,8439
S_{\min}=6\cdot 23^{2/3}\approx 48,52

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