A temperatura numa placa é dada por
.
A) Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto ( 2,1 ).
B) Ache a direção e sentido em que essa taxa de variação máxima ocorre em ( 2,1 ).
A) Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto ( 2,1 ).
B) Ache a direção e sentido em que essa taxa de variação máxima ocorre em ( 2,1 ).
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
Ponto onde vamos trabalhar:
.
Perguntas:
A) Ache a taxa de variação máxima da temperatura em .
B) Ache a direção e sentido em que essa taxa de variação máxima ocorre em .
A) Ache a taxa de variação máxima da temperatura em
B) Ache a direção e sentido em que essa taxa de variação máxima ocorre em
Informações relevantes dadas: a função temperatura
em função de
e
e o ponto
. Nada mais é pedido além da taxa máxima de variação e da direção/sentido em que ela ocorre.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Explicação curta e simples: a derivada parcial em relação a
mede como
muda quando mexemos só em
mantendo
fixo; a derivada parcial em relação a
mede como
muda quando mexemos só em
mantendo
fixo.
Calculemos:
Agora avalio essas derivadas no ponto
:
Passo 3
Definição e interpretação do gradiente: o gradiente de
é o vetor que reúne as derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento de
. Em fórmulas:
No ponto
temos, substituindo os valores calculados:
Interpretação física curta: o vetor
indica a direção no plano em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de
, e o comprimento desse vetor está ligado à taxa máxima de aumento.
Passo 4
Fórmula da derivada direcional e razão do máximo: a derivada direcional de
no ponto numa direção unitária
é o produto escalar entre o gradiente e
,
O produto escalar entre dois vetores é maximizado quando eles têm a mesma direção (ou seja, quando
é paralelo ao gradiente) e, nesse caso, o valor máximo é o módulo do gradiente. Isto vem da desigualdade de Cauchy–Schwarz que diz que para vetores
e
,
com igualdade quando
é paralelo a
. Aqui
tem norma
, então o máximo de
é
.
Portanto, a taxa de variação máxima é
e ocorre na direção do vetor
.
Passo 5
Calculemos o módulo (norma) do gradiente e a direção unitária correspondente.
Módulo:
Direção unitária (normalizando
):
Sentido: o sentido é o mesmo do vetor gradiente, ou seja, na direção de
aponta para onde
aumenta.
Passo 6
Resumo final lógico (sem repetir cálculos): a maior taxa de aumento da temperatura no ponto
é
(unidades K por unidade de distância no plano) e ocorre no sentido do vetor unitário
, que é o gradiente normalizado.
Resposta
A)
(K por unidade de distância)
B) Direção e sentido:
B) Direção e sentido: