A temperatura numa placa é dada por T(x, y)=6 x y-2 y^{2}(\mathrm{~K}).
A) Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto ( 2,1 ).
B) Ache a direção e sentido em que essa taxa de variação máxima ocorre em ( 2,1 ).

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
T(x,y)=6xy-2y^{2}\quad(\text{K}).
Ponto onde vamos trabalhar: (2,1).
Perguntas:
A) Ache a taxa de variação máxima da temperatura em (2,1).
B) Ache a direção e sentido em que essa taxa de variação máxima ocorre em (2,1).
Informações relevantes dadas: a função temperatura T(x,y) em função de x e y e o ponto (2,1). Nada mais é pedido além da taxa máxima de variação e da direção/sentido em que ela ocorre.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de T. Explicação curta e simples: a derivada parcial em relação a x mede como T muda quando mexemos só em x mantendo y fixo; a derivada parcial em relação a y mede como T muda quando mexemos só em y mantendo x fixo.
Calculemos:
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=6y,
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=6x-4y.
Agora avalio essas derivadas no ponto (2,1):
\frac{\partial T}{\partial x}(2,1)=6\cdot 1=6,
\frac{\partial T}{\partial y}(2,1)=6\cdot 2-4\cdot 1=12-4=8.

Passo 3

Definição e interpretação do gradiente: o gradiente de T é o vetor que reúne as derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento de T. Em fórmulas:
\nabla T(x,y)=\left(\frac{\partial T}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)\right).
No ponto (2,1) temos, substituindo os valores calculados:
\nabla T(2,1)=(6,8).
Interpretação física curta: o vetor (6,8) indica a direção no plano em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de (2,1), e o comprimento desse vetor está ligado à taxa máxima de aumento.

Passo 4

Fórmula da derivada direcional e razão do máximo: a derivada direcional de T no ponto numa direção unitária u é o produto escalar entre o gradiente e u,
D_{u}T(2,1)=\nabla T(2,1)\cdot u.
O produto escalar entre dois vetores é maximizado quando eles têm a mesma direção (ou seja, quando u é paralelo ao gradiente) e, nesse caso, o valor máximo é o módulo do gradiente. Isto vem da desigualdade de Cauchy–Schwarz que diz que para vetores a e b,
a\cdot b \le \|a\|\|b\|,
com igualdade quando b é paralelo a a. Aqui u tem norma 1, então o máximo de \nabla T\cdot u é \|\nabla T\|.
Portanto, a taxa de variação máxima é \|\nabla T(2,1)\| e ocorre na direção do vetor \nabla T(2,1).

Passo 5

Calculemos o módulo (norma) do gradiente e a direção unitária correspondente.
Módulo:
\|\nabla T(2,1)\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
Direção unitária (normalizando \nabla T(2,1)):
u=\frac{\nabla T(2,1)}{\|\nabla T(2,1)\|}=\frac{(6,8)}{10}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Sentido: o sentido é o mesmo do vetor gradiente, ou seja, na direção de \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right) aponta para onde T aumenta.

Passo 6

Resumo final lógico (sem repetir cálculos): a maior taxa de aumento da temperatura no ponto (2,1) é 10 (unidades K por unidade de distância no plano) e ocorre no sentido do vetor unitário \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right), que é o gradiente normalizado.

Resposta

A) 10 (K por unidade de distância)
B) Direção e sentido: \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)

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