Este problema consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, Equação 3-5. Mostre que a função distribuição da densidade de energia pode ser escrita na forma u=C lambda^-5(e^a lambda-1)^-1 em que C é uma constante e a=h c / k T.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar a famosa forma da densidade de energia de corpo negro em função de λ:
u(lambda)=C,lambda^-5l(e^alambda-1r)^-1
com constante e .
Isso tá dentro do conteúdo de radiação de corpo negro e da Lei de Planck.
O que a gente vai precisar:
  • A expressão da distribuição de Planck em função da frequência ν;
  • A relação entre frequência e comprimento de onda ( ) e usar mudança de variável pra passar de pra .

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Planck em frequência:
u(nu);=;8pi hc^3,nu^3e^,hnu/(kT)-1,
Aqui é a energia por volume num intervalo .

Passo 3

Agora, queremos a densidade por comprimento de onda u(lambda),dlambda ;=;u(nu),dnu e sabendo que nu=clambda, , tal que
nu=clambda ;implies; dnu =-,clambda^2,dlambda ;;Longrightarrow;; |dnu|=clambda^2,dlambda
Calculamos em função de :

Passo 4

Substituindo u(lambda) = u(nu),clambda^2 = 8pi hc^3,nu^3e^hnu/(kT)-1;clambda^2 e nu^3=c^3lambda^3, e^hnu/(kT)=e^,h c/(lambda kT) em u(lambda) = 8pi hc^3, (c^3/lambda^3)e^,hc/(lambda kT)-1 ;clambda^2 = 8pi h,clambda^5, 1e^,hc/(lambda kT)-1 :
Agora troca :
Fica então

Resposta

Comparando com a forma pedida, vimos que
C = 8pi h,c e a = h,ck,T,
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boxedu(lambda) = 8pi h,c;lambda^-5,l(e^,tfrachckT,lambda-1r)^-1

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