Mostre que o campo F(x, y, z)=\left(e^{x} \sin y+y z^{2}, e^{x} \cos y+x z^{2}, 2 x y z\right) é conservativo através da análise de seu rotacional e domínio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo \,F(x,y,z)=(e^{x}\sin y+y z^{2},\;e^{x}\cos y+x z^{2},\;2 x y z)\, é conservativo, usando a análise do rotacional e do domínio.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • Componente P(x,y,z)=e^{x}\sin y+y z^{2}.
  • Componente Q(x,y,z)=e^{x}\cos y+x z^{2}.
  • Componente R(x,y,z)=2 x y z.
    O objetivo: verificar o rotacional e analisar o domínio para concluir se existe uma função potencial.

Passo 2

O que significa ser conservativo e qual teste vamos usar?
  • Um campo vetorial \,F=(P,Q,R)\, é conservativo se existe uma função escalar \,\varphi(x,y,z)\, tal que \,F=\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)\,.
  • Uma forma prática: se o rotacional \,\nabla\times F\, é o vetor nulo em todo um domínio simplesmente conexo, então F é conservativo nesse domínio.
    O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (cada uma está entre parênteses com a função de origem):
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2 x y z)=2 x z, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x}\cos y+x z^{2}\big)=2 x z.
Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2 x z-2 x z=0.
Agora as próximas:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x}\sin y+y z^{2}\big)=2 y z, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2 x y z)=2 y z.
Logo a segunda componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2 y z-2 y z=0.
E por fim:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y+x z^{2}\big)=e^{x}\cos y+z^{2},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\sin y+y z^{2}\big)=e^{x}\cos y+z^{2}.
Assim a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}= (e^{x}\cos y+z^{2})-(e^{x}\cos y+z^{2})=0.
Portanto o rotacional é o vetor nulo:
\nabla\times F=(0,0,0).

Passo 4

Analisar o domínio do campo: as componentes são combinações de e^{x}, funções trigonométricas e polinômios em x,y,z. Todas essas funções estão definidas para quaisquer valores reais de x,y,z. Logo o domínio natural de F é todo o espaço
\mathbb{R}^{3}.
Além disso, \mathbb{R}^{3} é um domínio simplesmente conexo (qualquer laço em \mathbb{R}^{3} pode ser continuamente contraído a um ponto). Esse é exatamente o tipo de domínio em que o teste do rotacional vale: rotacional nulo em domínio simplesmente conexo \Rightarrow campo conservativo.

Passo 5

Conclusão teórica imediata: como \nabla\times F=\mathbf{0} em todo o domínio e o domínio é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, então F é conservativo em \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Para fixar a ideia, vou localizar explicitamente uma função potencial \varphi. Começo integrando a primeira componente com respeito a x:
\varphi(x,y,z)=\int P\,dx=\int\big(e^{x}\sin y+y z^{2}\big)\,dx=e^{x}\sin y + x y z^{2}+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante de integração” que pode depender de y e z. Diferencio em relação a y:
\phi_{y}=e^{x}\cos y + x z^{2} + g_{y}(y,z).
Como deve valer \phi_{y}=Q=e^{x}\cos y + x z^{2}, segue que g_{y}(y,z)=0, logo g depende apenas de z: g(y,z)=h(z). Diferenciando \varphi em relação a z:
\phi_{z}=2 x y z + h'(z).
Como \phi_{z} deve ser R=2 x y z, obtemos h'(z)=0, logo h é constante. Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=e^{x}\sin y + x y z^{2} + C,
com C constante arbitrária.

Resposta

O campo é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
Uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y,z)=e^{x}\sin y + x y z^{2} + C.

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