Mostre que o campo
é conservativo através da análise de seu rotacional e domínio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo
é conservativo, usando a análise do rotacional e do domínio.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Informações dadas (copiadas do enunciado):
- Componente
. - Componente
. - Componente
.
O objetivo: verificar o rotacional e analisar o domínio para concluir se existe uma função potencial.
Passo 2
O que significa ser conservativo e qual teste vamos usar?
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que . - Uma forma prática: se o rotacional
é o vetor nulo em todo um domínio simplesmente conexo, então é conservativo nesse domínio.
O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por
Vou calcular essas derivadas parciais explicitamente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (cada uma está entre parênteses com a função de origem):
Portanto a primeira componente do rotacional é
Agora as próximas:
Logo a segunda componente é
E por fim:
Assim a terceira componente é
Portanto o rotacional é o vetor nulo:
Passo 4
Analisar o domínio do campo: as componentes são combinações de
, funções trigonométricas e polinômios em
. Todas essas funções estão definidas para quaisquer valores reais de
. Logo o domínio natural de
é todo o espaço
Além disso,
é um domínio simplesmente conexo (qualquer laço em
pode ser continuamente contraído a um ponto). Esse é exatamente o tipo de domínio em que o teste do rotacional vale: rotacional nulo em domínio simplesmente conexo
campo conservativo.
Passo 5
Conclusão teórica imediata: como
em todo o domínio e o domínio é
, que é simplesmente conexo, então
é conservativo em
.
Passo 6
Para fixar a ideia, vou localizar explicitamente uma função potencial
. Começo integrando a primeira componente com respeito a
:
onde
é uma “constante de integração” que pode depender de
e
. Diferencio em relação a
:
Como deve valer
, segue que
, logo
depende apenas de
:
. Diferenciando
em relação a
:
Como
deve ser
, obtemos
, logo
é constante. Portanto uma função potencial é
com
constante arbitrária.
Resposta
O campo é conservativo em
.
Uma função potencial é .
Uma função potencial é