Calcule a transformada de Laplace da seguinte função descontínua
f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } \pi \leq x<2 \pi \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)\) definida por partes e pede a transformada de Laplace de \(f\). Os dados relevantes são: - A função é \[f(x)= \begin{cases}1, & \text{se } \pi \leq x<2\pi,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
  • A pergunta implícita: calcular (\mathcal{L}{f}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s x},f(x),dx].]

Passo 2

Relembrando a definição e o que vamos usar:
  • A transformada de Laplace de uma função g(x) é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,g(x)\,dx,
onde s é o parâmetro (normalmente consideramos \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência).
  • Aqui f(x) é zero fora do intervalo [\pi,2\pi). Portanto, ao calcular a integral de 0 até \infty basta integrar só onde f é diferente de zero. Assim podemos escrever a transformada como uma integral definida no intervalo onde f=1.

Passo 3

Redução da integral usando que f(x)=1 em [\pi,2\pi) e f(x)=0 em outros pontos:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,f(x)\,dx=\int_{\pi}^{2\pi} e^{-s x}\,dx.
Aqui usamos explicitamente a informação do enunciado sobre a região onde f vale 1.

Passo 4

Calcular a integral de e^{-s x}. Para s\neq 0 vale a primitiva
\int e^{-s x}\,dx = -\frac{1}{s} e^{-s x}.
Aplicando o teorema fundamental do cálculo na integral de \pi a 2\pi:
\mathcal{L}\{f\}(s) = -\frac{1}{s} e^{-s x}\Big|_{x=\pi}^{x=2\pi} = -\frac{1}{s}\bigl(e^{-2\pi s}-e^{-\pi s}\bigr).

Passo 5

Fazer a simplificação algébrica:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s}\bigl(e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}\bigr).
Uma forma factorizada conveniente é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s}\bigl(1-e^{-\pi s}\bigr).
Comentário sobre convergência e caso s\to 0: para \operatorname{Re}(s)>0 a expressão está bem definida. Tomando o limite s\to 0^{+} obtém-se o comprimento do intervalo onde f=1, ou seja \pi; de fato, expandindo e^{-a s}\approx 1-a s para pequeno s tem-se \dfrac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s}\to \pi.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s}\bigl(e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}\bigr)=\frac{e^{-\pi s}}{s}\bigl(1-e^{-\pi s}\bigr),\quad \operatorname{Re}(s)>0

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