Calcule a transformada de Laplace da seguinte função descontínua
f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } \pi \leq x<2 \pi \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)\) definida por partes e pede a transformada de Laplace de \(f\). Os dados relevantes são:
- A função é
\[f(x)= \begin{cases}1, & \text{se } \pi \leq x<2\pi,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta implícita: calcular (\mathcal{L}{f}(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s x},f(x),dx].]
onde s é o parâmetro (normalmente consideramos \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência).
Aqui f(x) é zero fora do intervalo [\pi,2\pi). Portanto, ao calcular a integral de 0 até \infty basta integrar só onde f é diferente de zero. Assim podemos escrever a transformada como uma integral definida no intervalo onde f=1.
Passo 3
Redução da integral usando que f(x)=1 em [\pi,2\pi) e f(x)=0 em outros pontos:
Comentário sobre convergência e caso s\to 0: para \operatorname{Re}(s)>0 a expressão está bem definida. Tomando o limite s\to 0^{+} obtém-se o comprimento do intervalo onde f=1, ou seja \pi; de fato, expandindo e^{-a s}\approx 1-a s para pequeno s tem-se \dfrac{e^{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s}\to \pi.