Ache a solução de
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não-homogêneos:
Informações relevantes:
- É uma equação linear com operador diferencial
. - O termo não-homogêneo é soma de um polinômio
e de . - Precisamos encontrar a solução geral
e então ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Encontremos a solução homogênea
. Para isso resolvemos a equação característica associada:
Calculando as raízes:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Explicação curta: para raízes
a solução homogênea é
.)
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
como soma das partes correspondentes a cada termo do lado direito:
onde
corresponde a
e
corresponde a
.
Primeiro
para o polinômio
. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um polinômio de grau 1:
Calculemos derivadas:
Substituindo na equação:
Isso deve igualar
. Igualando coeficientes de
e constantes:
Logo
Passo 4
Agora
para o termo
. Observação importante:
e
já aparecem na solução homogênea
(ressonância). Pelo método dos coeficientes, devemos multiplicar a tentativa por
. Assim tentamos
Para calcular
e
de forma mais elegante, uso a ideia do deslocamento operador: se
, então para
vale
Calculemos
:
Portanto, colocando
com
, a equação reduz para
Agora aplicamos
a
. Faço isso passo a passo.
Calcule
,
,
:
Derivando:
Derivando novamente:
Agora
Os termos em
cancelam porque
e idem para
. Resta:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Portanto
e
Passo 5
A solução particular total é
A solução geral é
Passo 6
Agora imponha as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando em
:
Como
, segue
Agora calcule
para
. Derivemos termo a termo.
Derivada do homogêneo:
Derivada da parte polinomial
é
.
Derivada de
usando produto:
Agora avalie tudo em
. Observando
,
,
, e o último termo com fator
some:
Dado
, temos
Substituindo
:
Calcule os termos constantes em denominador
:
Então a equação fica
Portanto
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução final: