Ache a solução de
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=2 t+3 e^{-2 t} \cos 3 t, \quad y(0)=0 y^{\prime}(0)=-1 .

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não-homogêneos:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+13y=2t+3e^{-2t}\cos 3t, \qquad y(0)=0,\; y'(0)=-1.
Informações relevantes:
  • É uma equação linear com operador diferencial L(D)=D^{2}+4D+13.
  • O termo não-homogêneo é soma de um polinômio 2t e de 3e^{-2t}\cos 3t.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(t)=y_h(t)+y_p(t) e então ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Encontremos a solução homogênea y_h. Para isso resolvemos a equação característica associada:
r^{2}+4r+13=0.
Calculando as raízes:
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot13=16-52=-36,
r=\frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i.
Como as raízes são complexas conjugadas -2\pm 3i, a solução homogênea é
y_h(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos 3t + C_2\sin 3t\big),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
(Explicação curta: para raízes \alpha\pm i\beta a solução homogênea é e^{\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t).)

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p como soma das partes correspondentes a cada termo do lado direito:
y_p=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} corresponde a 2t e y_{p2} corresponde a 3e^{-2t}\cos 3t.
Primeiro y_{p1} para o polinômio 2t. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um polinômio de grau 1:
y_{p1}(t)=At+B.
Calculemos derivadas:
y_{p1}'=A,\qquad y_{p1}''=0.
Substituindo na equação:
0+4A+13(At+B)=13A t + (4A+13B).
Isso deve igualar 2t. Igualando coeficientes de t e constantes:
13A=2 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{13},
4A+13B=0 \quad\Rightarrow\quad 13B=-4A=-\frac{8}{13}\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{8}{169}.
Logo
y_{p1}(t)=\frac{2}{13}t-\frac{8}{169}.

Passo 4

Agora y_{p2} para o termo 3e^{-2t}\cos 3t. Observação importante: e^{-2t}\cos 3t e e^{-2t}\sin 3t já aparecem na solução homogênea y_h (ressonância). Pelo método dos coeficientes, devemos multiplicar a tentativa por t. Assim tentamos
y_{p2}(t)=t e^{-2t}\big(C\cos 3t + D\sin 3t\big).
Para calcular C e D de forma mais elegante, uso a ideia do deslocamento operador: se L(D)=D^{2}+4D+13, então para y=e^{-2t}v(t) vale
L(D)[e^{-2t}v]=e^{-2t}L(D-2)[v].
Calculemos L(D-2):
L(D-2)=(D-2)^{2}+4(D-2)+13=D^{2}+9.
Portanto, colocando y_{p2}=e^{-2t}v com v(t)=t(C\cos3t+D\sin3t), a equação reduz para
(D^{2}+9)v = 3\cos 3t.
Agora aplicamos D^{2}+9 a v(t)=t(C\cos3t+D\sin3t). Faço isso passo a passo.
Calcule v, v', v'':
v(t)=t(C\cos3t+D\sin3t).
Derivando:
v'=C\cos3t+D\sin3t + t(-3C\sin3t+3D\cos3t).
Derivando novamente:
v''=(-6C\sin3t+6D\cos3t) + t(-9C\cos3t -9D\sin3t).
Agora
(D^{2}+9)v = v''+9v = (-6C\sin3t+6D\cos3t) + t(-9C\cos3t -9D\sin3t) +9t(C\cos3t+D\sin3t).
Os termos em t cancelam porque -9C\cos3t+9C\cos3t=0 e idem para \sin. Resta:
(D^{2}+9)v = 6D\cos3t -6C\sin3t.
Isso deve ser igual a 3\cos3t. Igualando coeficientes:
6D=3 \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{1}{2},
-6C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
v(t)=t\cdot\frac{1}{2}\sin3t,
e
y_{p2}(t)=e^{-2t}v(t)=\frac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t.

Passo 5

A solução particular total é
y_p(t)=y_{p1}+y_{p2}=\frac{2}{13}t-\frac{8}{169}+\frac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t.
A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos3t + C_2\sin3t\big)+\frac{2}{13}t-\frac{8}{169}+\frac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t.

Passo 6

Agora imponha as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=0. Avaliando em t=0:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos0 + C_2\sin0\big)+0-\frac{8}{169}+0 = C_1-\frac{8}{169}.
Como y(0)=0, segue
C_1=\frac{8}{169}.
Agora calcule y'(t) para t=0. Derivemos termo a termo.
Derivada do homogêneo:
\frac{d}{dt}\big[e^{-2t}(C_1\cos3t+C_2\sin3t)\big] = e^{-2t}\big((-2C_1+3C_2)\cos3t +(-3C_1-2C_2)\sin3t\big).
Derivada da parte polinomial \frac{2}{13}t-\frac{8}{169} é \frac{2}{13}.
Derivada de \frac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t usando produto:
\frac{d}{dt}\Big(\tfrac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t\Big) =\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big(\sin3t + t(3\cos3t-2\sin3t)\big).
Agora avalie tudo em t=0. Observando \sin0=0, \cos0=1, e^{0}=1, e o último termo com fator t some:
y'(0)=(-2C_1+3C_2)+\frac{2}{13}+0.
Dado y'(0)=-1, temos
-2C_1+3C_2+\frac{2}{13}=-1.
Substituindo C_1=\frac{8}{169}:
-2\cdot\frac{8}{169}+3C_2+\frac{2}{13}=-1.
Calcule os termos constantes em denominador 169:
- \frac{16}{169} + \frac{2}{13} = -\frac{16}{169} + \frac{26}{169} = \frac{10}{169}.
Então a equação fica
3C_2 + \frac{10}{169} = -1 \quad\Rightarrow\quad 3C_2 = -1 - \frac{10}{169} = -\frac{169}{169}-\frac{10}{169}=-\frac{179}{169}.
Portanto
C_2=-\frac{179}{507}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução final:
y(t)=e^{-2t}\Big(\frac{8}{169}\cos3t -\frac{179}{507}\sin3t\Big)+\frac{2}{13}t-\frac{8}{169}+\frac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\Big(\frac{8}{169}\cos3t -\frac{179}{507}\sin3t\Big)+\frac{2}{13}t-\frac{8}{169}+\frac{1}{2}t e^{-2t}\sin3t

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