1. Mostre que, se um campo vetorial \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k} é conservativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x} \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}
  1. Use o Exercício 29 para mostrar que a integral de linha \int_{C} y d x+x d y+x y z d z não é independente do caminho.

Passo 1

O Exercício 29 pede para mostrar que, se um campo vetorial \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}+R\,\mathbf{k} é conservativo e P,Q,R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então valem
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
O conteúdo usado será a existência de potencial escalar para campos conservativos e o teorema de igualdade de derivadas parciais mistas.

Passo 2

Como \mathbf{F} é conservativo, existe função f(x,y,z) com \nabla f=\mathbf{F}. Logo
P=\frac{\partial f}{\partial x},\quad Q=\frac{\partial f}{\partial y},\quad R=\frac{\partial f}{\partial z}.
Pela continuidade das segundas derivadas de f (teorema de Clairaut), as derivadas mistas satisfazem
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x} =\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y} =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}.
Desse modo
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =\frac{\partial Q}{\partial x},
e analogamente obtêm-se as outras duas igualdades.

Passo 3

O Exercício 30 considera a integral de linha
\int_C y\,dx + x\,dy + x y z\,dz,
isto é, o campo \mathbf{F}=(P,Q,R)=(y,x,x y z). Queremos usar o critério do Exercício 29 para verificar se \mathbf{F} é conservativo (o que equivale à independência de caminho).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial y}{\partial z}=0, \qquad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial (x y z)}{\partial x}=y z.
Como 0\neq y z, falha a condição \partial P/\partial z = \partial R/\partial x
do Exercício 29.

Passo 5

Como uma das condições necessárias para \mathbf{F} ser conservativo não se verifica, concluímos que o campo não é conservativo e, portanto, a integral de linha não é independente do caminho.

Resposta

  1. Pelo potencial f e igualdade de derivadas mistas, obtemos
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
  1. No campo (y,x, x y z) tem-se \partial P/\partial z=0\neq y z=\partial R/\partial x, logo o campo não é conservativo e a integral depende do caminho.

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