- Mostre que, se um campo vetorial
é conservativo e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
- Use o Exercício 29 para mostrar que a integral de linha
não é independente do caminho.
Passo 1
O Exercício 29 pede para mostrar que, se um campo vetorial
é conservativo e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então valem
O conteúdo usado será a existência de potencial escalar para campos conservativos e o teorema de igualdade de derivadas parciais mistas.
Passo 2
Como
é conservativo, existe função
com
. Logo
Pela continuidade das segundas derivadas de
(teorema de Clairaut), as derivadas mistas satisfazem
Desse modo
e analogamente obtêm-se as outras duas igualdades.
Passo 3
O Exercício 30 considera a integral de linha
isto é, o campo
. Queremos usar o critério do Exercício 29 para verificar se
é conservativo (o que equivale à independência de caminho).
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, falha a condição
do Exercício 29.
do Exercício 29.
Passo 5
Como uma das condições necessárias para
ser conservativo não se verifica, concluímos que o campo não é conservativo e, portanto, a integral de linha não é independente do caminho.
Resposta
- Pelo potencial
e igualdade de derivadas mistas, obtemos
- No campo
tem-se , logo o campo não é conservativo e a integral depende do caminho.