Use a primeira identidade de Green para mostrar que se
for harmônica em
, e se
na curva limite
, então
. (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses que no Exercício 33.)
Passo 1
O enunciado diz que
é harmônica em uma região
de contorno suave
e que
sobre toda a curva
. Queremos mostrar que
Para isso vamos usar a primeira identidade de Green, que relaciona integrais de domínio com integrais de contorno.
Passo 2
A primeira identidade de Green afirma, para funções suficientemente suaves
e
,
Escolhendo
, obtemos
Mas como
é harmônica em
, temos
, e como
em
, o integrando de contorno também zera. Logo sobra
Passo 3
O integrando
é sempre não‐negativo, e sua integral sobre
é zero, o que implica que
em
. Assim,
é constante em
. Como
na fronteira
, segue que
em todo
.