Mostre que no caso do choque central inelástico entre duas esferas de massas
e
que se movem no mesmo sentido com velocidades iguais a
e
, respectivamente, a energia dissipada é dada pela expressão:
.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas com massas
e
que estão se movendo na mesma direção com velocidades
e
, respectivamente. Quando essas esferas colidem de forma inelástica (ou seja, elas ficam grudadas após a colisão), queremos descobrir quanta energia é perdida nesse processo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de momento e cálculo de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão inelástica, o momento total do sistema é conservado. O momento é uma quantidade que depende da massa e da velocidade dos corpos. A fórmula para o momento total antes da colisão é:
Passo 3
Depois da colisão, como as esferas ficam grudadas, elas se movem juntas com uma velocidade comum, que vamos chamar de
. O momento total após a colisão é:
Passo 4
Como o momento é conservado, igualamos o momento antes e depois da colisão:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar a velocidade comum
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a energia cinética antes e depois da colisão. A energia cinética é dada por:
Então, a energia cinética total antes da colisão é:
E a energia cinética total após a colisão é:
Passo 6
A energia dissipada na colisão é a diferença entre a energia antes e a energia depois:
Vamos substituir
pela expressão que encontramos no Passo 4:
Passo 7
Após simplificar os termos, chegamos à expressão para a energia dissipada:
Resposta
A energia dissipada na colisão inelástica é: