Mostre que no caso do choque central inelástico entre duas esferas de massas m1 e m2 que se movem no mesmo sentido com velocidades iguais a v1 e v2, respectivamente, a energia dissipada é dada pela expressão:
De.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas com massas m1 e m2 que estão se movendo na mesma direção com velocidades v1 e v2, respectivamente. Quando essas esferas colidem de forma inelástica (ou seja, elas ficam grudadas após a colisão), queremos descobrir quanta energia é perdida nesse processo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de momento e cálculo de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão inelástica, o momento total do sistema é conservado. O momento é uma quantidade que depende da massa e da velocidade dos corpos. A fórmula para o momento total antes da colisão é:
pantes = m1v1 + m2v2

Passo 3

Depois da colisão, como as esferas ficam grudadas, elas se movem juntas com uma velocidade comum, que vamos chamar de v. O momento total após a colisão é:
pdepois = (m1 + m2)v

Passo 4

Como o momento é conservado, igualamos o momento antes e depois da colisão:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v
Agora, resolvemos essa equação para encontrar a velocidade comum v:
v = m1v1 + m2v2m1 + m2

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a energia cinética antes e depois da colisão. A energia cinética é dada por:
Ecin = 12 m v^2
Então, a energia cinética total antes da colisão é:
Eantes = 12 m1v1^2 + 12 m2v2^2
E a energia cinética total após a colisão é:
Edepois = 12 (m1 + m2) v^2

Passo 6

A energia dissipada na colisão é a diferença entre a energia antes e a energia depois:
De
Vamos substituir v pela expressão que encontramos no Passo 4:
De

Passo 7

Após simplificar os termos, chegamos à expressão para a energia dissipada:
De

Resposta

A energia dissipada na colisão inelástica é:
De

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