9.15 A 50 V voltage generator at 20 MHz is connected to the plates of an air dielectric parallelplate capacitor with a plate area of
and a separation distance of 0.2 mm . Find the maximum value of displacement current density and displacement current.
Passo 1
O que o problema pede:
- Encontrar o valor máximo da densidade de corrente de deslocamento (
). - Encontrar o valor máximo da corrente de deslocamento (
).
Informações fornecidas (vou listar exatamente o que temos do enunciado):
- Tensão do gerador:
(assumo amplitude pico ). - Frequência:
. - Área das placas:
.
Vou converter para SI:. - Separação entre placas:
.
Vou converter para SI:. - Meio entre placas: ar (assumo permissividade do vácuo
para o ar), com .
Passo 2
Conceito e fórmulas essenciais (aulas rápidas e claras):
- Displacement current density: a corrente de deslocamento surge quando o campo elétrico varia no tempo. A densidade de corrente de deslocamento é dada por
Aqui
é a permissividade do meio (no ar usamos
),
é o campo elétrico e
é sua derivada temporal. Para placas paralelas o campo é uniforme entre as placas e paralelo à normal, então podemos tratar as magnitudes.
-
Relação entre campo elétrico e tensão: o campo entre as placas é
, onde é a tensão entre as placas e a separação. -
Para uma tensão senoidal
temos . A amplitude máxima da derivada é . Assim a amplitude (valor máximo) da densidade de corrente de deslocamento é
- A corrente de deslocamento total através da área
(assumindo campo uniforme) é simplesmente
logo o valor máximo é
Passo 3
Expressões que vamos usar e cálculo da frequência angular:
- Frequência angular:
.
Passo 4
Calculemos a capacitância só para ter noção (opcional, mas ajuda a conferir):
- Capacitância de placas paralelas:
Substituindo:
Isso é só para checagem; a fórmula direta para
é mais direta.
Passo 5
Calcule
passo a passo:
- Use
. -
. -
. -
.
Agora a conta:
Faço em etapas:
Arredondando com 3 algarismos significativos:
.
Passo 6
Calcule
(verificação também por
):
- Usando
e ,
Em unidades mais usuais:
.
- Checagem rápida usando
:
coincide (pequenas diferenças de arredondamento).
Passo 7
Interpretação final curta e ânimo:
- O resultado mostra que, mesmo com uma área pequena e separação reduzida, em frequências altas a corrente de deslocamento pode ser da ordem de dezenas de miliampères — isso é o “resultado prático” de um campo oscilante rápido entre placas. Você já viu como montar a fórmula, fazer a conversão de unidades e calcular passo a passo — esse procedimento é o que você deve fazer na prova. Vai dar certo, respira e mãos à obra!