9.15 A 50 V voltage generator at 20 MHz is connected to the plates of an air dielectric parallelplate capacitor with a plate area of 2.8 \mathrm{~cm}^{2} and a separation distance of 0.2 mm . Find the maximum value of displacement current density and displacement current.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Encontrar o valor máximo da densidade de corrente de deslocamento ( J_{\mathrm{d,max}}).
  • Encontrar o valor máximo da corrente de deslocamento ( I_{\mathrm{d,max}}).
Informações fornecidas (vou listar exatamente o que temos do enunciado):
  • Tensão do gerador: 50\\ \mathrm{V} (assumo amplitude pico V_0=50\\ \mathrm{V}).
  • Frequência: 20\\ \mathrm{MHz}.
  • Área das placas: 2,8\\ \mathrm{cm}^{2}.
    Vou converter para SI: 2,8\\ \mathrm{cm}^{2}=2,8\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Separação entre placas: 0,2\\ \mathrm{mm}.
    Vou converter para SI: 0,2\\ \mathrm{mm}=2,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Meio entre placas: ar (assumo permissividade do vácuo \varepsilon_{0} para o ar), com \varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Conceito e fórmulas essenciais (aulas rápidas e claras):
  • Displacement current density: a corrente de deslocamento surge quando o campo elétrico varia no tempo. A densidade de corrente de deslocamento é dada por
\mathbf{J}_{\mathrm{d}}=\varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Aqui \varepsilon é a permissividade do meio (no ar usamos \varepsilon_{0}), \mathbf{E} é o campo elétrico e \partial \mathbf{E}/\partial t é sua derivada temporal. Para placas paralelas o campo é uniforme entre as placas e paralelo à normal, então podemos tratar as magnitudes.
  • Relação entre campo elétrico e tensão: o campo entre as placas é \displaystyle E=\frac{V}{d}, onde V é a tensão entre as placas e d a separação.
  • Para uma tensão senoidal \displaystyle V(t)=V_{0}\cos(\omega t) temos \displaystyle \frac{dV}{dt}=-\omega V_{0}\sin(\omega t). A amplitude máxima da derivada é \omega V_{0}. Assim a amplitude (valor máximo) da densidade de corrente de deslocamento é
J_{\mathrm{d,max}}=\varepsilon_{0}\,\frac{\omega V_{0}}{d}.
  • A corrente de deslocamento total através da área A (assumindo campo uniforme) é simplesmente
I_{\mathrm{d}}(t)=J_{\mathrm{d}}(t)\,A,
logo o valor máximo é
I_{\mathrm{d,max}}=J_{\mathrm{d,max}}\,A.

Passo 3

Expressões que vamos usar e cálculo da frequência angular:
  • Frequência angular: \displaystyle \omega=2\pi f.
\omega = 2\pi\cdot 20\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}=1,256637061\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calculemos a capacitância só para ter noção (opcional, mas ajuda a conferir):
  • Capacitância de placas paralelas:
C=\varepsilon_{0}\frac{A}{d}.
Substituindo:
C=8,854187817\times10^{-12}\cdot\frac{2,8\times10^{-4}}{2,0\times10^{-4}} =8,854187817\times10^{-12}\cdot1,4 =1,239586294\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Isso é só para checagem; a fórmula direta para J_{\mathrm{d,max}} é mais direta.

Passo 5

Calcule J_{\mathrm{d,max}}=\varepsilon_{0}\,\dfrac{\omega V_{0}}{d} passo a passo:
  • Use \varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \omega=1,256637061\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • V_{0}=50\\ \mathrm{V}.
  • d=2,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Agora a conta:
J_{\mathrm{d,max}}=\frac{8,854187817\times10^{-12}\cdot 1,256637061\times10^{8}\cdot 50}{2,0\times10^{-4}}.
Faço em etapas:
8,854187817\times10^{-12}\cdot 1,256637061\times10^{8}=1,112650056\times10^{-3}
1,112650056\times10^{-3}\cdot 50=0,0556325028
J_{\mathrm{d,max}}=\frac{0,0556325028}{2,0\times10^{-4}}=278,1625\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Arredondando com 3 algarismos significativos: J_{\mathrm{d,max}}\approx 2,78\times10^{2}\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 6

Calcule I_{\mathrm{d,max}}=J_{\mathrm{d,max}}\,A (verificação também por I_{\mathrm{d,max}}=C\omega V_{0}):
  • Usando A=2,8\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} e J_{\mathrm{d,max}}=278,1625\\ \mathrm{A/m^{2}},
I_{\mathrm{d,max}}=278,1625\cdot 2,8\times10^{-4}=7,78859\times10^{-2}\\ \mathrm{A}.
Em unidades mais usuais: I_{\mathrm{d,max}}\approx 7,79\times10^{-2}\\ \mathrm{A}=77,9\\ \mathrm{mA}.
  • Checagem rápida usando C\omega V_{0}:
C\omega V_{0}=1,239586294\times10^{-11}\cdot 1,256637061\times10^{8}\cdot50\approx7,79\times10^{-2}\\ \mathrm{A},
coincide (pequenas diferenças de arredondamento).

Passo 7

Interpretação final curta e ânimo:
  • O resultado mostra que, mesmo com uma área pequena e separação reduzida, em frequências altas a corrente de deslocamento pode ser da ordem de dezenas de miliampères — isso é o “resultado prático” de um campo oscilante rápido entre placas. Você já viu como montar a fórmula, fazer a conversão de unidades e calcular passo a passo — esse procedimento é o que você deve fazer na prova. Vai dar certo, respira e mãos à obra!

Resposta

J_{\mathrm{d,max}}=2,78\times10^{2}\\ \mathrm{A/m^{2}}
I_{\mathrm{d,max}}=7,79\times10^{-2}\\ \mathrm{A}

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