Mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica de um material é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos mostrar que o coeficiente de dilatação volumétrica (β) de um material é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear (α). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação linear e volumétrica, que explicam como os materiais expandem ou contraem com a variação de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de dilatação linear (α). Esse coeficiente mede quanto um material alonga ou encurta por unidade de comprimento quando a temperatura muda. Por exemplo, se um metal esquenta, ele se expande, e α nos dá uma ideia de quanto isso acontece por grau de temperatura.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o coeficiente de dilatação volumétrica (β). Esse coeficiente mede quanto o volume de um material muda com a variação de temperatura. Diferente da dilatação linear, que considera uma dimensão, a volumétrica considera todas as três dimensões (comprimento, largura e altura).
Passo 4
Vamos supor que temos um material com lados iniciais de comprimento
. Assim, o volume inicial
desse material é:
Passo 5
Quando a temperatura muda, cada lado do material se expande de acordo com o coeficiente de dilatação linear α. Então, o novo comprimento de cada lado será:
onde
é a variação de temperatura.
Passo 6
Com os novos comprimentos, o novo volume
será:
Passo 7
Como
é pequeno, podemos simplificar a expressão usando a aproximação do binômio de Newton:
Portanto:
Passo 8
A dilatação volumétrica é definida por:
Comparando com a expressão que obtivemos:
Conclusão disso é que:
Resposta
O coeficiente de dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes o coeficiente de dilatação linear, ou seja,
.