Mostre que para uma colisão elástica unidimensional entre duas partículas de massa m1 e m2, com velocidades v1 a e v2 a ( v2 a=0, alvo parado) as velocidades das partículas depois da colisão valem: vl d=m1-m2m1+m2 vl a e v2 d=2 m1m1+m2 vl a

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de colisão elástica em uma dimensão envolvendo duas partículas. A massa da primeira é $ m_1 $ e a da segunda é $ m_2 $. Inicialmente, a primeira partícula está se movendo com velocidade $ v_{1a} $ e a segunda está parada ($ v_{2a} = 0 $). Nosso objetivo é descobrir as velocidades das partículas depois da colisão, ou seja, $ v_{1d} $ e $ v_{2d} $. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação de momentum (quantidade de movimento) e de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação de momentum. Em uma colisão, o momentum total antes da colisão é igual ao momentum total depois da colisão. A fórmula do momentum é:
p = m times v
Então, a conservação de momentum fica assim:
m1 v1a + m2 v2a = m1 v1d + m2 v2d
Como $ v_{2a} = 0 $, a equação simplifica para:
v2a = 0

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação de energia cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma. A energia cinética é dada por:
KE = 12 m v^2
Então, a conservação de energia fica:
12 m1 v1a^2 + 12 m2 v2a^2 = 12 m1 v1d^2 + 12 m2 v2d^2
Como $ v_{2a} = 0 $, a equação simplifica para:
v2a = 0
Podemos simplificar removendo o $ \frac{1}{2} $ de todos os termos:
12 m1 v1a^2 = 12 m1 v1d^2 + 12 m2 v2d^2

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ m_1 v_{1a} = m_1 v_{1d} + m_2 v_{2d} $
  2. $ m_1 v_{1a}^2 = m_1 v_{1d}^2 + m_2 v_{2d}^2 $
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar $ v_{1d} $ e $ v_{2d} $. Vamos resolver a primeira equação para $ v_{1d} $:
m1 v1a = m1 v1d + m2 v2d

Passo 5

Agora, substituímos $ v_{1d} $ na segunda equação:
v1d
Expandindo o quadrado:
m1 v1a^2 = m1 ( v1a - m2m1 v2d )^2 + m2 v2d^2
Distribuindo o $ m_1 $:
m1 v1a^2 = m1 ( v1a^2 - 2 v1a m2m1 v2d + m2^2m1^2 v2d^2 ) + m2 v2d^2
Subtraindo $ m_1 v_{1a}^2 $ de ambos os lados:
m1
Fatorando $ v_{2d} $:
m1 v1a^2 = m1 v1a^2 - 2 m2 v1a v2d + m2^2m1 v2d^2 + m2 v2d^2
Agora, isolamos $ v_{2d} $:
m1 v1a^2
Resolvendo para $ v_{2d} $:
0 = -2 m2 v1a v2d + m2^2m1 v2d^2 + m2 v2d^2

Resposta

Após resolver, as velocidades das partículas depois da colisão são:
v1d = m1 - m2m1 + m2 , v1a
v2d = 2 m1m1 + m2 , v1a

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