Mostre que para uma colisão elástica unidimensional entre duas partículas de massa
e
, com velocidades
e
(
, alvo parado) as velocidades das partículas depois da colisão valem:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de colisão elástica em uma dimensão envolvendo duas partículas. A massa da primeira é $ m_1 $ e a da segunda é $ m_2 $. Inicialmente, a primeira partícula está se movendo com velocidade $ v_{1a} $ e a segunda está parada ($ v_{2a} = 0 $). Nosso objetivo é descobrir as velocidades das partículas depois da colisão, ou seja, $ v_{1d} $ e $ v_{2d} $. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de conservação de momentum (quantidade de movimento) e de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é conservação de momentum. Em uma colisão, o momentum total antes da colisão é igual ao momentum total depois da colisão. A fórmula do momentum é:
Então, a conservação de momentum fica assim:
Como $ v_{2a} = 0 $, a equação simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a conservação de energia cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total antes e depois da colisão é a mesma. A energia cinética é dada por:
Então, a conservação de energia fica:
Como $ v_{2a} = 0 $, a equação simplifica para:
Podemos simplificar removendo o $ \frac{1}{2} $ de todos os termos:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ m_1 v_{1a} = m_1 v_{1d} + m_2 v_{2d} $
- $ m_1 v_{1a}^2 = m_1 v_{1d}^2 + m_2 v_{2d}^2 $
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar $ v_{1d} $ e $ v_{2d} $. Vamos resolver a primeira equação para $ v_{1d} $:
Passo 5
Agora, substituímos $ v_{1d} $ na segunda equação:
Expandindo o quadrado:
Distribuindo o $ m_1 $:
Subtraindo $ m_1 v_{1a}^2 $ de ambos os lados:
Fatorando $ v_{2d} $:
Agora, isolamos $ v_{2d} $:
Resolvendo para $ v_{2d} $:
Resposta
Após resolver, as velocidades das partículas depois da colisão são: