A resultante das três forças deve estar paralela ao eixo x e o módulo F1 ser o menor possível. A força F2 tem módulo 895 Ne F3 tem módulo 670 N .
(a) Calcule o módulo mínimo F1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a resultante de três forças ser paralela ao eixo $ x $ e queremos encontrar o menor valor possível para a força $ F_1 $. Estamos trabalhando com as forças $ \vec{F}_2 $ de módulo $ 895 , N $ e $ \vec{F}_3 $ de módulo $ 670 , N $. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças se combinam vetorialmente para que a resultante não tenha componente na direção $ y $, ou seja, só tenha componente no $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos representar as forças. Vamos supor que $ \vec{F}_1 $ está alinhada com o eixo $ x $, ou seja, na direção horizontal. Já as forças $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ podem ter componentes tanto no $ x $ quanto no $ y $. Mas para a resultante ser paralela ao $ x $, as componentes verticais dessas duas forças precisam se anular.

Passo 3

Vamos decompor $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ em suas componentes $ x $ e $ y $. Vamos chamar os ângulos que essas forças fazem com o eixo $ x $ de $ \theta $ e $ \phi $, respectivamente.
Para $ \vec{F}_2 $:
F2
F3
Para $ \vec{F}_3 $:
x
y

Passo 4

Como a resultante deve ser paralela ao eixo $ x $, a soma das componentes $ y $ das forças deve ser zero:
x
Substituindo as expressões:
y
Isso significa que $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ devem ter componentes verticais opostas.

Passo 5

Para minimizar $ F_1 $, queremos que $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ contribuam o máximo possível na direção $ x $, isto é, que suas componentes $ x $ somem positivamente. Assim, vamos alinhar $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ de forma que suas direções no $ y $ se anulem.

Passo 6

A soma das componentes $ x $ das forças será igual à força $ F_1 $, já que $ F_1 $ é a única força na direção $ x $:
x
Substituindo:
F1

Passo 7

Para minimizar $ F_1 $, queremos maximizar o valor de $ \cos(\theta) $ e $ \cos(\phi) $. O valor máximo de $ \cos $ é 1, que ocorre quando as forças estão direcionadas exatamente na direção $ x $.

Passo 8

Quando $ \theta = \phi = 0 $, temos:
theta = phi = 0
No entanto, esse é o caso onde $ F_1 $ é a soma máxima, não o mínimo. Para obter o mínimo, precisamos que as componentes $ x $ sejam tais que as forças $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ contrabalançam $ F_1 $.

Passo 9

Para minimizar $ F_1 $, considere que $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ tenham componentes $ x $ que se somem ao mínimo necessário para balancear a resultante. Isso ocorre quando $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ estão alinhadas em direções opostas na vertical, cancelando-se nas componentes $ y $ e somando-se nas componentes $ x $.

Passo 10

Aplicando o teorema de Pitágoras para as componentes $ x $:
x
Calculando:
F1 = raizF2^2 + F3^2 = raiz895^2 + 670^2

Resposta

O módulo mínimo de $ F_1 $ é aproximadamente $ 1118,59 , N $.

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