A resultante das três forças deve estar paralela ao eixo
e o módulo
ser o menor possível. A força
tem módulo
tem módulo 670 N .
(a) Calcule o módulo mínimo
.
(a) Calcule o módulo mínimo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a resultante de três forças ser paralela ao eixo $ x $ e queremos encontrar o menor valor possível para a força $ F_1 $. Estamos trabalhando com as forças $ \vec{F}_2 $ de módulo $ 895 , N $ e $ \vec{F}_3 $ de módulo $ 670 , N $. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças se combinam vetorialmente para que a resultante não tenha componente na direção $ y $, ou seja, só tenha componente no $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos representar as forças. Vamos supor que $ \vec{F}_1 $ está alinhada com o eixo $ x $, ou seja, na direção horizontal. Já as forças $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ podem ter componentes tanto no $ x $ quanto no $ y $. Mas para a resultante ser paralela ao $ x $, as componentes verticais dessas duas forças precisam se anular.
Passo 3
Vamos decompor $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ em suas componentes $ x $ e $ y $. Vamos chamar os ângulos que essas forças fazem com o eixo $ x $ de $ \theta $ e $ \phi $, respectivamente.
Para $ \vec{F}_2 $:
Para $ \vec{F}_3 $:
Passo 4
Como a resultante deve ser paralela ao eixo $ x $, a soma das componentes $ y $ das forças deve ser zero:
Substituindo as expressões:
Isso significa que $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ devem ter componentes verticais opostas.
Passo 5
Para minimizar $ F_1 $, queremos que $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ contribuam o máximo possível na direção $ x $, isto é, que suas componentes $ x $ somem positivamente. Assim, vamos alinhar $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ de forma que suas direções no $ y $ se anulem.
Passo 6
A soma das componentes $ x $ das forças será igual à força $ F_1 $, já que $ F_1 $ é a única força na direção $ x $:
Substituindo:
Passo 7
Para minimizar $ F_1 $, queremos maximizar o valor de $ \cos(\theta) $ e $ \cos(\phi) $. O valor máximo de $ \cos $ é 1, que ocorre quando as forças estão direcionadas exatamente na direção $ x $.
Passo 8
Quando $ \theta = \phi = 0 $, temos:
No entanto, esse é o caso onde $ F_1 $ é a soma máxima, não o mínimo. Para obter o mínimo, precisamos que as componentes $ x $ sejam tais que as forças $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ contrabalançam $ F_1 $.
Passo 9
Para minimizar $ F_1 $, considere que $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ tenham componentes $ x $ que se somem ao mínimo necessário para balancear a resultante. Isso ocorre quando $ \vec{F}_2 $ e $ \vec{F}_3 $ estão alinhadas em direções opostas na vertical, cancelando-se nas componentes $ y $ e somando-se nas componentes $ x $.
Passo 10
Aplicando o teorema de Pitágoras para as componentes $ x $:
Calculando:
Resposta
O módulo mínimo de $ F_1 $ é aproximadamente $ 1118,59 , N $.