Mostre que a compressibilidade total de uma formação é dada por: ct=c+cf=co So+cg Sg+cw Sw+cf Onde: c representa a compressibilidade dos (fluidos) e cf a compressibilidade da matriz rochosa. so, sg e sw representam as saturações do óleo, do gás e da água respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra mostrar que a compressibilidade total de uma formação é dada por
ct ;=; c + cf ;=; co,So ;+; cg,Sg ;+; cw,Sw ;+; cf
Isso tá na área de reservatórios (poroelasticidade), e a gente vai precisar usar:
  • Definição de compressibilidade de um volume,
  • A decomposição do volume total (bulk) em volume de sólidos + volume de poros,
  • A ideia de saturação dos fluidos nos poros.

Passo 2

Primeiro, lembra que compressibilidade de qualquer volume V é
c ;=; -1V,dVdp
Isso vale tanto pra rocha (matriz) quanto pros fluidos. No caso da matriz rochosa chamamos de cf, e no caso dos fluidos vamos chamar gericamente de c.

Passo 3

Agora a gente nota que o volume total (bulk) é
Vb ;=; Vs ;+; Vp
onde Vs é o volume sólido (matriz) e Vp é o volume de poros (cheio de fluidos). Logo
dVbdp ;=; dVsdp ;+; dVpdp
Pela definição, a compressibilidade total é
ct = -1Vb,dVbdp = -1Vbl(dVsdp + dVpdpr)

Passo 4

Agora substituímos cada termo pela sua compressibilidade:
  • Para a matriz: cf ;=; -1Vs,dVsdp Rightarrow dVsdp ;=; -,cf,Vs
  • Para os fluidos juntos (volume de poros): c ;=; -1Vp,dVpdp Rightarrow dVpdp ;=; -,c,Vp
Substituindo em ct:
ct = -1Vbl(-cf,Vs ;-; c,Vpr) = VsVb,cf ;+;VpVb,c

Passo 5

Já que saturação é fração de volume de cada fluido no volume de poros, podemos escrever
c ;=; underbraceVoVpSo,co ;+; underbraceVgVpSg,cg ;+; underbraceVwVpSw,cw ;=; co,So + cg,Sg + cw,Sw
E, normalmente, a gente define cf e ct já por unidade de volume bulk, de modo que tfracVsVb,cfto cf e tfracVpVb,cto c. Daí termina ficando simplesmente
ct ;=; c + cf com c = co,So + cg,Sg + cw,Sw

Resposta

boxed ct ;=; c + cf ;=; co,So ;+; cg,Sg ;+; cw,Sw ;+; cf

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