Mostre que a compressibilidade total de uma formação é dada por: Onde: c representa a compressibilidade dos (fluidos) e a compressibilidade da matriz rochosa. e representam as saturações do óleo, do gás e da água respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra mostrar que a compressibilidade total de uma formação é dada por
Isso tá na área de reservatórios (poroelasticidade), e a gente vai precisar usar:
Definição de compressibilidade de um volume,
A decomposição do volume total (bulk) em volume de sólidos + volume de poros,
A ideia de saturação dos fluidos nos poros.
Passo 2
Primeiro, lembra que compressibilidade de qualquer volume é
Isso vale tanto pra rocha (matriz) quanto pros fluidos. No caso da matriz rochosa chamamos de , e no caso dos fluidos vamos chamar gericamente de .
Passo 3
Agora a gente nota que o volume total (bulk) é
onde é o volume sólido (matriz) e é o volume de poros (cheio de fluidos). Logo
Pela definição, a compressibilidade total é
Passo 4
Agora substituímos cada termo pela sua compressibilidade:
Para a matriz:
Para os fluidos juntos (volume de poros):
Substituindo em :
Passo 5
Já que saturação é fração de volume de cada fluido no volume de poros, podemos escrever
E, normalmente, a gente define cf e ct já por unidade de volume bulk, de modo que tfracVsVb,cfto cf e tfracVpVb,cto c. Daí termina ficando simplesmente