Mostre que o comprimento de arco de uma curva em \mathbb{C} é independente da parametrização. Mais precisamente: se
z(t)=x(t)+i y(t), \quad a \leq t \leq b
é uma curva diferenciável, e se t=\varphi(\tau):[c, d] \rightarrow[a, b] é uma bijeção diferenciável, então o comprimento de arco de z(t), a \leq t \leq b, é igual ao comprimento de arco de z(\varphi(\tau)), c \leq \tau \leq d.

Passo 1

O enunciado dá uma curva diferenciável em \mathbb{C}
z(t)=x(t)+i y(t),\qquad a\le t\le b,
e uma bijeção diferenciável
t=\varphi(\tau),\qquad \tau\in[c,d],
com \varphi([c,d])=[a,b]. Precisa-se mostrar que o comprimento de arco de z no intervalo [a,b] é igual ao comprimento de arco da mesma curva reparametrizada por \varphi no intervalo [c,d].
As informações relevantes são, portanto:
  • os componentes reais x(t),y(t) são diferenciáveis em [a,b] (logo z é diferenciável);
  • \varphi é diferenciável e bijetora de [c,d] em [a,b] (portanto \varphi é contínua e monotônica, crescente ou decrescente);
  • devemos comparar os dois comprimentos de arco correspondentes aos parâmetros t e \tau.

Passo 2

Definição prática do comprimento de arco para curvas diferenciáveis (fórmula que vamos usar).
Se z(t)=x(t)+i y(t) é diferenciável em [a,b], o comprimento de arco de z no intervalo [a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicando: \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade escalar da partícula que percorre a curva, isto é, o comprimento do vetor derivada (x'(t),y'(t)). Em notação complexa essa magnitude é simplesmente o módulo da derivada complexa:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}} = \bigl|z'(t)\bigr|.
Portanto podemos escrever de forma compacta
\boxed{L=\int_{a}^{b}\bigl|z'(t)\bigr|\;dt.}
Isto é apenas a expressão padrão do comprimento de arco para curvas diferenciáveis — memorize: comprimento = integral da velocidade.

Passo 3

Derivada da reparametrização (regra da cadeia) e expressão para o comprimento com o novo parâmetro.
Considere a curva reparametrizada
\widetilde z(\tau)=z\bigl(\varphi(\tau)\bigr),\qquad c\le\tau\le d.
Aplicando a regra da cadeia às componentes reais:
\frac{d}{d\tau}\widetilde z(\tau) = \frac{d}{d\tau}z\bigl(\varphi(\tau)\bigr) = z'\bigl(\varphi(\tau)\bigr)\cdot\varphi'(\tau).
Aqui a multiplicação é a multiplicação usual em \mathbb{C}; a justificativa componente a componente é: \tfrac{d}{d\tau}x(\varphi(\tau))=x'(\varphi(\tau))\varphi'(\tau) e idem para y. Agora a velocidade escalar da curva reparametrizada é o módulo dessa derivada:
\left|\frac{d}{d\tau}\widetilde z(\tau)\right| = \bigl|z'\bigl(\varphi(\tau)\bigr)\bigr|\;\bigl|\varphi'(\tau)\bigr|.
Portanto o comprimento da curva em termos de \tau é
\widetilde L=\int_{c}^{d}\left|\frac{d}{d\tau}\widetilde z(\tau)\right|\;d\tau = \int_{c}^{d}\bigl|z'\bigl(\varphi(\tau)\bigr)\bigr|\;\bigl|\varphi'(\tau)\bigr|\;d\tau.

Passo 4

Fazer a mudança de variável t=\varphi(\tau) na integral \widetilde L.
Como \varphi é bijeção differentiável de [c,d] em [a,b], ela é monotônica (ou crescente, ou decrescente). Em todo caso temos \varphi\text{(c)} e \varphi(d) sendo as extremidades de [a,b], isto é \{\varphi\text{(c)},\varphi(d)\}=\{a,b\}. Considere a mudança de variável
t=\varphi(\tau).
Então, formalmente, dt=\varphi'(\tau)\,d\tau. Note que se \varphi for decrescente então \varphi'(\tau)\le 0 em sentido quase em toda parte; por isso na expressão da velocidade usamos \bigl|\varphi'(\tau)\bigr|. Como integrando é não-negativo, podemos reescrever a integral usando os limites apropriados:
\widetilde L = \int_{c}^{d}\bigl|z'\bigl(\varphi(\tau)\bigr)\bigr|\;\bigl|\varphi'(\tau)\bigr|\;d\tau = \int_{\varphi\text{(c)}}^{\varphi(d)}\bigl|z'(t)\bigr|\;dt.
Aqui a última igualdade é o resultado padrão da mudança de variável para integrais: quando t=\varphi(\tau) então \;dt=\varphi'(\tau)\,d\tau e, porque \bigl|z'(\varphi(\tau))\bigr| é não-negativa, a presença do valor absoluto em \varphi' faz com que a integral sobre [c,d] em \tau se transforme exatamente na integral de t sobre [\varphi\text{(c)},\varphi(d)]. Agora, como \varphi([c,d])=[a,b], os extremos \varphi\text{(c)},\varphi(d) são a,b em alguma ordem, então
\widetilde L = \int_{a}^{b}\bigl|z'(t)\bigr|\;dt = L.

Passo 5

Comentário e verificação de detalhes técnicos (por que não houve problema com o sinal de \varphi').
  • Se \varphi é crescente então \varphi\text{(c)}=a,\\ \varphi(d)=b e \varphi'(\tau)\ge 0 em sentido quase em toda parte; a mudança de variável dá diretamente \widetilde L=\int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt.
  • Se \varphi é decrescente então \varphi\text{(c)}=b,\\ \varphi(d)=a e \varphi'(\tau)\le 0; na mudança de variável aparece uma troca de limites que introduz um sinal negativo, o qual é cancelado pelo fato de usarmos |\varphi'(\tau)|. Como o integrando |z'| é não-negativo, no fim obtemos novamente \widetilde L=\int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt.
  • A hipótese de diferenciabilidade garante existência de \varphi'(\tau) (e integrabilidade), e a bijeção garante que \varphi mapeia o intervalo [c,d] exatamente em [a,b]. Assim a aplicação da regra da cadeia e da mudança de variável é justificada.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b}\bigl|z'(t)\bigr|\;dt=\int_{c}^{d}\left|\frac{d}{d\tau}z\bigl(\varphi(\tau)\bigr)\right|\;d\tau.

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