Sejam
e
funções diferenciáveis. Prove a regra da cadeia:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (clarinho):
- Estão dadas duas funções diferenciáveis:
e . - Preciso provar que, para todo
,
Ou seja: tomar a derivada da composição
dá o produto da derivada de
avaliada em
pela derivada de
em
.
Não vou assumir nada além da diferenciabilidade das duas funções; a prova será para um arbitrário.
Não vou assumir nada além da diferenciabilidade das duas funções; a prova será para um
Passo 2
Definições e ferramentas que vou usar (explicando bem):
- Diferenciabilidade de
em significa, pela definição com resto, que existe e uma função de resto tal que, para ,
com a propriedade
Aqui
no sentido habitual. Essa é só a forma conveniente de escrever a definição de derivada como aproximação linear + erro pequeno.
- Diferenciabilidade de
em (valor real de entrada) significa análoga e, apesar de ser complexa na imagem, a definição é a mesma: existe e um resto tal que, para ,
com
- Observação prática: escrever a diferenciabilidade dessa forma é útil porque reduz o problema a manipular restos que ficam pequenos quando divididos por
. Isso é uma técnica padrão em provas do teorema da cadeia.
Passo 3
Aplicando as expansões às funções dadas (a ideia principal):
Fixe um arbitrário e escreva
. Para
pequeno, defina
Fixe um
Pela diferenciabilidade de
em
temos
com
quando
. Pela diferenciabilidade de
em
temos, usando
acima,
com
quando
. Note que
quando
porque
é contínua (diferenciável implica contínua).
Passo 4
Formar o quociente diferencial e manipular os restos para chegar ao limite:
Calcule o quociente de diferença que define a derivada da composição:
Calcule o quociente de diferença que define a derivada da composição:
Agora escreva
em função de
usando
. Substituindo,
Distribuindo,
Passo 5
Mostrar que os termos de erro somam zero no limite e concluir:
- Pelo item anterior da definição,
quando . Como é um número complexo fixo, então
- Para o último termo, escreva
Pela diferenciabilidade de
temos
quando
. E já vimos que
, que tende a
quando
. Portanto o produto
tende a
. Logo
Somando os limites dos termos na expressão do Passo 4, obtemos
Como
, isso é exatamente