Mostre que, se
é um contorno simples fechado e orientado positivamente, então a área da região limitada por
é dada por
Passo 1
O enunciado nos dá que
é um contorno simples fechado e orientado positivamente (isto é, contorno fechado percorrido no sentido anti-horário), e pede para mostrar que a área da região limitada por
é
As informações relevantes são:
-
é o traço de uma curva fechada simples que limita uma região planar . - A orientação de
é positiva (anti-horário). - Queremos relacionar uma integral de contorno complexa envolvendo
e com a área de .
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas cartesiano-planas e expressar
e
em termos de
e
. Definimos
onde
e
são funções do parâmetro que percorre
. Agora multiplicamos
por
e desenvolvemos passo a passo:
Passo 3
Fazendo a multiplicação e separando termos reais e imaginários,
Observação didática:
é a diferencial exata de
, porque
Para uma curva fechada
a integral de uma diferencial exata é zero, logo
Passo 4
Pela decomposição anterior e pelo fato da parte exata integrar zero, temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Portanto reduziram-se as coisas a mostrar que
é exatamente a área da região
limitada por
.
Passo 5
Agora vamos usar o Teorema de Green (também chamado fórmula integral de Green). O teorema diz: se
é uma região planar com contorno simples fechado
orientado positivamente, e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Para obter a área
escolhemos
e
de modo que
. Uma escolha simples é
Calculando as derivadas,
Aplicando Green:
Rearranjando o lado esquerdo,
Passo 6
Juntando o resultado do Passo 4 com o do Passo 5, obtemos
Portanto a integral complexa dada realmente calcula a área da região limitada por
. (Observação: o valor é real pelo cancelamento da parte exata e pela forma do integrando; a fórmula exige que
seja percorrida com orientação positiva.)
Passo 7
Resumo didático rápido: escrevemos
em coordenadas reais, vimos que a parte que aparece como diferencial exata não contribui à integral sobre uma curva fechada, e então identificamos a parte restante com a forma de linha cuja integral, via Teorema de Green, é igual à área. Isso é uma tradução conveniente entre integrais complexas e geometria planar — muito útil em aplicações e problemas de contorno.