Mostre que, se C é um contorno simples fechado e orientado positivamente, então a área da região limitada por C é dada por
\text { Área }=\frac{1}{2 i} \int_{C} \bar{z} d zÁ

Passo 1

O enunciado nos dá que C é um contorno simples fechado e orientado positivamente (isto é, contorno fechado percorrido no sentido anti-horário), e pede para mostrar que a área da região limitada por C é
\text{Área}=\frac{1}{2i}\int_{C}\bar{z}\,dz.Á
As informações relevantes são:
  • C é o traço de uma curva fechada simples que limita uma região planar D.
  • A orientação de C é positiva (anti-horário).
  • Queremos relacionar uma integral de contorno complexa envolvendo \bar{z} e dz com a área de D.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas cartesiano-planas e expressar \bar{z} e dz em termos de x e y. Definimos
z = x+ i y,\qquad \bar{z} = x - i y,\qquad dz = dx + i\,dy,
onde x e y são funções do parâmetro que percorre C. Agora multiplicamos \bar{z} por dz e desenvolvemos passo a passo:
\bar{z}\,dz = (x - i y)(dx + i\,dy).

Passo 3

Fazendo a multiplicação e separando termos reais e imaginários,
\begin{aligned} \bar{z}\,dz &= x\,dx + i x\,dy - i y\,dx + y\,dy \\\ &= (x\,dx + y\,dy) + i\,(x\,dy - y\,dx). \end{aligned}
Observação didática: x\,dx + y\,dy é a diferencial exata de \tfrac{1}{2}(x^2+y^2), porque
x\,dx + y\,dy = \tfrac{1}{2}\,d(x^2+y^2).
Para uma curva fechada C a integral de uma diferencial exata é zero, logo
\int_{C} (x\,dx + y\,dy) = \tfrac{1}{2}\int_{C} d(x^2+y^2) = 0.

Passo 4

Pela decomposição anterior e pelo fato da parte exata integrar zero, temos
\int_{C} \bar{z}\,dz = i \int_{C} (x\,dy - y\,dx).
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{1}{2i} obtemos
\frac{1}{2i}\int_{C} \bar{z}\,dz = \frac{1}{2}\int_{C} (x\,dy - y\,dx).
Portanto reduziram-se as coisas a mostrar que \dfrac{1}{2}\int_{C} (x\,dy - y\,dx) é exatamente a área da região D limitada por C.

Passo 5

Agora vamos usar o Teorema de Green (também chamado fórmula integral de Green). O teorema diz: se D é uma região planar com contorno simples fechado C orientado positivamente, e P(x,y),Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Para obter a área \iint_{D} dA escolhemos P e Q de modo que \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1. Uma escolha simples é
P = -\tfrac{y}{2},\qquad Q = \tfrac{x}{2}.
Calculando as derivadas,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(\tfrac{x}{2}\Big) - \frac{\partial}{\partial y}\Big(-\tfrac{y}{2}\Big) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.
Aplicando Green:
\int_{C} \Big(-\tfrac{y}{2}\Big)dx + \Big(\tfrac{x}{2}\Big)dy \;=\; \iint_{D} 1\,dA \;=\; \text{Área}(D).Á
Rearranjando o lado esquerdo,
\text{Área}(D) = \tfrac{1}{2}\int_{C} (x\,dy - y\,dx).Á

Passo 6

Juntando o resultado do Passo 4 com o do Passo 5, obtemos
\frac{1}{2i}\int_{C} \bar{z}\,dz \;=\; \frac{1}{2}\int_{C} (x\,dy - y\,dx) \;=\; \text{Área}(D).Á
Portanto a integral complexa dada realmente calcula a área da região limitada por C. (Observação: o valor é real pelo cancelamento da parte exata e pela forma do integrando; a fórmula exige que C seja percorrida com orientação positiva.)

Passo 7

Resumo didático rápido: escrevemos \bar{z}\,dz em coordenadas reais, vimos que a parte que aparece como diferencial exata não contribui à integral sobre uma curva fechada, e então identificamos a parte restante com a forma de linha cuja integral, via Teorema de Green, é igual à área. Isso é uma tradução conveniente entre integrais complexas e geometria planar — muito útil em aplicações e problemas de contorno.

Resposta

\text{Área}=\frac{1}{2i}\int_{C}\bar{z}\,dzÁ

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