Mostre que uma condição necessária e suficiente para que
esteja sobre uma esfera é que
const., onde
e
é a derivada de
em relação a s.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Temos uma curva regular
parametrizada por comprimento de arco . - Denotamos por
o vetor tangente unitário, por a normal principal e por o binormal (isto é, o triêto de Frenet ). - A curvatura é
e a torção é . Definimos Além disso, é a derivada de em relação a . (Para poder usar precisamos supor no intervalo considerado; eu vou explicitar isto quando necessário.) - O pedido: mostrar que uma condição necessária e suficiente para que a imagem
esteja contida numa esfera é que
Passo 2
Ferramentas básicas (Frenet–Serret) e notação — mini-aula.
- Como
está parametrizada por comprimento de arco, tem-se e as fórmulas de Frenet–Serret (explicadas abaixo) valem:
Aqui:
vetor tangente unitário,
vetor normal unitário apontando para o centro de curvatura instantâneo,
é o binormal;
e
são curvatura e torção.
- Intuição:
controla a mudança do tangente (por isso ), e a torção controla a mudança do plano osculador (aparecendo em e ). - Notação compacta que usarei:
e (ambos funções de ).
Passo 3
Necessidade: se
está numa esfera então
é constante.
- Suponha que
esteja contida numa esfera de centro e raio . Defina Então para todo . - Diferenciando em
obtemos Também, derivando dá , ou seja Assim é sempre perpendicular a , e portanto pertence ao plano gerado por e . Logo existem funções escalares e tais que - Diferenciando essa expressão e usando Frenet:
Agrupando termos em base
resulta
- Mas sabemos também que
. Comparando coeficientes na base ortonormal obtemos o sistema
- Da primeira equação vem
. Da segunda vem - Finalmente, o quadrado da distância ao centro é
Como é constante, concluímos que Isso prova a necessidade.
Passo 4
Suficiência: se
é constante (e
) então
está numa esfera.
- Suponha que
em e que para toda , com constante. - Defina as funções
Note que são exatamente as expressões que surgiram no passo anterior quando a curva estava em uma esfera. - Considere o vetor
A ideia é mostrar que , o que implicaria que é uma constante em e então estaria sempre à distância constante de , i.e. na esfera de centro e raio . - Calculamos
. Usando Frenet e o cálculo do passo anterior (e recordando que , ):
Mas
e
implicam
, então a componente em
desaparece.
- Resta verificar que as componentes em
e também são nulas. Para a componente em : porque . - Para a componente em
calculamos Multiplicando por obtemos Agora diferenciamos a hipótese em . Derivando e simplificando aparece exatamente Assim, onde concluímos , e então , o que dá (lembre que é finito porque ). Portanto a componente em é zero também. - Se houver pontos onde
isolados, a igualdade diferenciada acima continua válida no sentido que a expressão se anula sempre que e por continuidade também nos pontos limites; analisando o caso extremo (ver passo seguinte) obtemos o tratamento especial. Assim em todo caso (sob a hipótese ) concluímos para todo . - Portanto
é constante; chamando esse vetor constante, temos e que é constante. Assim está contida na esfera de centro e raio . Isso prova a suficiência (sob a hipótese ; o cálculo mostrou explicitamente como o fato de ser constante força ).
Passo 5
Caso degenerado e observações finais (didática e interpretação).
- Se
em todo então é constante (curvatura constante). Nesse caso é constante e . O cálculo direto dá Assim se e somente se (ou seja, a curva é plana). Quando constante e a curva é um círculo (que, claro, está numa esfera — na verdade em muitas esferas), caso que também é coberto pela fórmula por const. Se é constante mas (ex.: certas curvas helicoidais com curvatura constante) então a expressão é constante, mas a curva não está numa esfera — daí a necessidade de exigir no enunciado da forma que usa e, na prova da suficiência, de usar a derivada da igualdade para obter a anulação da componente em . Em resumo: a versão clássica da equivalência é formulada para curvas com ; o caso puramente plano (τ=0) deve ser tratado separadamente (reduz-se ao caso de círculos). - Resumindo a conclusão lógica: sob a hipótese natural de curva regular com
no intervalo considerado, a condição é equivalente a dizer que está contida numa esfera. A dedução é construtiva: o centro da esfera é o vetor constante que se mostra independente de exatamente quando a quantidade acima é constante.
Resposta
A curva
está contida em uma esfera se, e somente se,
onde
,
e
.