Mostre que uma condição necessária e suficiente para que f(I) esteja sobre uma esfera é que R^{2}+(R')^{2} T^{2}= const., onde R=\frac{1}{k}, T=\frac{1}{\tau} e R' é a derivada de R em relação a s.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Temos uma curva regular f\colon I\to\mathbb{R}^3 parametrizada por comprimento de arco s.
  • Denotamos por \mathbf{t}(s)=f'(s) o vetor tangente unitário, por \mathbf{n}(s) a normal principal e por \mathbf{b}(s) o binormal (isto é, o triêto de Frenet (\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf{b})).
  • A curvatura é k(s)>0 e a torção é \tau(s). Definimos R(s)=\frac{1}{k(s)},\qquad T(s)=\frac{1}{\tau(s)}.Além disso, R'(s) é a derivada de R em relação a s. (Para poder usar T precisamos supor \tau(s)\neq0 no intervalo considerado; eu vou explicitar isto quando necessário.)
  • O pedido: mostrar que uma condição necessária e suficiente para que a imagem f(I) esteja contida numa esfera é que R(s)^{2} + \bigl(R'(s)\bigr)^{2} T(s)^{2} = \text{constante (em \(s\)).}

Passo 2

Ferramentas básicas (Frenet–Serret) e notação — mini-aula.
  • Como f está parametrizada por comprimento de arco, tem-se \|\mathbf{t}\|=1 e as fórmulas de Frenet–Serret (explicadas abaixo) valem: \mathbf{t}'(s)=k(s)\,\mathbf{n}(s),
\mathbf{n}'(s)=-k(s)\,\mathbf{t}(s)+\tau(s)\,\mathbf{b}(s),
\mathbf{b}'(s)=-\tau(s)\,\mathbf{n}(s).
Aqui: \mathbf{t}= vetor tangente unitário, \mathbf{n}= vetor normal unitário apontando para o centro de curvatura instantâneo, \mathbf{b}=\mathbf{t}\times\mathbf{n} é o binormal; k e \tau são curvatura e torção.
  • Intuição: \mathbf{n} controla a mudança do tangente (por isso \mathbf{t}'=k\mathbf{n}), e a torção \tau controla a mudança do plano osculador (aparecendo em \mathbf{n}' e \mathbf{b}').
  • Notação compacta que usarei: R=1/k e T=1/\tau (ambos funções de s).

Passo 3

Necessidade: se f(I) está numa esfera então R^{2}+(R')^{2}T^{2} é constante.
  • Suponha que f(I) esteja contida numa esfera de centro c\in\mathbb{R}^3 e raio \rho>0. Defina \mathbf{u}(s)=f(s)-c.Então \|\mathbf{u}(s)\|^2=\rho^2 para todo s.
  • Diferenciando em s obtemos \mathbf{u}'(s)=f'(s)=\mathbf{t}(s).Também, derivando \|\mathbf{u}\|^2=\rho^2 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}'=0, ou seja \mathbf{u}(s)\cdot\mathbf{t}(s)=0.Assim \mathbf{u}(s) é sempre perpendicular a \mathbf{t}(s), e portanto pertence ao plano gerado por \mathbf{n}(s) e \mathbf{b}(s). Logo existem funções escalares \alpha(s) e \beta(s) tais que \mathbf{u}(s)=\alpha(s)\,\mathbf{n}(s)+\beta(s)\,\mathbf{b}(s).
  • Diferenciando essa expressão e usando Frenet: \mathbf{u}'(s)=\alpha'\mathbf{n}+\alpha\mathbf{n}'+\beta'\mathbf{b}+\beta\mathbf{b}'
\qquad=\alpha'\mathbf{n}+\alpha(-k\mathbf{t}+\tau\mathbf{b})+\beta'\mathbf{b}+\beta(-\tau\mathbf{n}).
Agrupando termos em base (\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf{b}) resulta
\mathbf{u}'(s)=(-\alpha k)\,\mathbf{t} + (\alpha'-\beta\tau)\,\mathbf{n} + (\alpha\tau+\beta')\,\mathbf{b}.
  • Mas sabemos também que \mathbf{u}'(s)=\mathbf{t}(s). Comparando coeficientes na base ortonormal obtemos o sistema -\alpha(s)\,k(s)=1,
\alpha'(s)-\beta(s)\,\tau(s)=0,
\alpha(s)\,\tau(s)+\beta'(s)=0.
  • Da primeira equação vem \alpha(s)=-\dfrac{1}{k(s)}=-R(s). Da segunda vem \beta(s)=\frac{\alpha'(s)}{\tau(s)}=-\frac{R'(s)}{\tau(s)}=-R'(s)\,T(s).
  • Finalmente, o quadrado da distância ao centro é \|\mathbf{u}(s)\|^2=\alpha(s)^2+\beta(s)^2 = R(s)^2 + \bigl(R'(s)\bigr)^2 T(s)^2.Como \|\mathbf{u}(s)\|^2=\rho^2 é constante, concluímos que R(s)^2 + \bigl(R'(s)\bigr)^2 T(s)^2 = \rho^2 = \text{constante}.Isso prova a necessidade.

Passo 4

Suficiência: se R^{2}+(R')^{2}T^{2} é constante (e \tau\neq0) então f(I) está numa esfera.
  • Suponha que \tau(s)\neq0 em I e que R(s)^2 + \bigl(R'(s)\bigr)^2 T(s)^2 = Cpara toda s\in I, com C constante.
  • Defina as funções \alpha(s):=-R(s),\qquad \beta(s):=-R'(s)\,T(s).Note que são exatamente as expressões que surgiram no passo anterior quando a curva estava em uma esfera.
  • Considere o vetor c(s):=f(s)-\alpha(s)\,\mathbf{n}(s)-\beta(s)\,\mathbf{b}(s).A ideia é mostrar que c'(s)=\mathbf{0}, o que implicaria que c(s) é uma constante em \mathbb{R}^3 e então f(s) estaria sempre à distância constante de c, i.e. na esfera de centro c e raio \sqrt{C}.
  • Calculamos c'(s). Usando Frenet e o cálculo do passo anterior (e recordando que \alpha=-R, \beta=-R'T): c'(s) = \mathbf{t} -\alpha'\mathbf{n} - \alpha\mathbf{n}' -\beta'\mathbf{b} - \beta\mathbf{b}'
\qquad= \bigl(1+\alpha k\bigr)\mathbf{t} + \bigl(-\alpha'+\beta\tau\bigr)\mathbf{n} + \bigl(-\alpha\tau-\beta'\bigr)\mathbf{b}.
Mas \alpha=-R e k=1/R implicam 1+\alpha k=1-R\cdot(1/R)=0, então a componente em \mathbf{t} desaparece.
  • Resta verificar que as componentes em \mathbf{n} e \mathbf{b} também são nulas. Para a componente em \mathbf{n}: -\alpha'+\beta\tau = -(-R)'+(-R'T)\tau = R' - R' T\tau = R' - R' = 0,porque T\tau=1.
  • Para a componente em \mathbf{b} calculamos -\alpha\tau-\beta' = -(-R)\tau -\frac{d}{ds}(-R'T) = R\tau + R''T + R' T'.Multiplicando por T obtemos T\bigl(-\alpha\tau-\beta'\bigr) = R + R''T^2 + R' T T'.Agora diferenciamos a hipótese R^2 + (R')^2 T^2 = C em s. Derivando e simplificando aparece exatamente 0 = R R' + R' R'' T^2 + (R')^2 T T' = R'\bigl(R + R''T^2 + R' T T'\bigr).Assim, onde R'(s)\neq0 concluímos R + R''T^2 + R' T T' =0, e então T(-\alpha\tau-\beta')=0, o que dá -\alpha\tau-\beta'=0 (lembre que T=1/\tau é finito porque \tau\neq0). Portanto a componente em \mathbf{b} é zero também.
  • Se houver pontos onde R'(s)=0 isolados, a igualdade diferenciada acima continua válida no sentido que a expressão R + R''T^2 + R'TT' se anula sempre que R'\neq0 e por continuidade também nos pontos limites; analisando o caso extremo R'\equiv0 (ver passo seguinte) obtemos o tratamento especial. Assim em todo caso (sob a hipótese \tau\neq0) concluímos c'(s)=\mathbf{0} para todo s\in I.
  • Portanto c(s) é constante; chamando c esse vetor constante, temos f(s)-c = \alpha(s)\mathbf{n}(s)+\beta(s)\mathbf{b}(s),e \|f(s)-c\|^2=\alpha(s)^2+\beta(s)^2 = R(s)^2+(R'(s))^2 T(s)^2 = C,que é constante. Assim f(I) está contida na esfera de centro c e raio \sqrt{C}. Isso prova a suficiência (sob a hipótese \tau\neq0; o cálculo mostrou explicitamente como o fato de R^2+(R')^2T^2 ser constante força c'(s)=0).

Passo 5

Caso degenerado e observações finais (didática e interpretação).
  • Se R'(s)\equiv0 em todo I então R é constante (curvatura constante). Nesse caso \alpha=-R é constante e \beta\equiv0. O cálculo direto dá c'(s)=R\tau(s)\,\mathbf{b}(s).Assim c'(s)\equiv0 se e somente se \tau(s)\equiv0 (ou seja, a curva é plana). Quando R constante e \tau\equiv0 a curva é um círculo (que, claro, está numa esfera — na verdade em muitas esferas), caso que também é coberto pela fórmula por R^2+(R')^2T^2=R^2= const. Se R é constante mas \tau\not\equiv0 (ex.: certas curvas helicoidais com curvatura constante) então a expressão R^2+(R')^2T^2 é constante, mas a curva não está numa esfera — daí a necessidade de exigir \tau\neq0 no enunciado da forma que usa T=1/\tau e, na prova da suficiência, de usar a derivada da igualdade para obter a anulação da componente em \mathbf{b}. Em resumo: a versão clássica da equivalência é formulada para curvas com \tau\neq0; o caso puramente plano (τ=0) deve ser tratado separadamente (reduz-se ao caso de círculos).
  • Resumindo a conclusão lógica: sob a hipótese natural de curva regular com \tau(s)\neq0 no intervalo considerado, a condição R(s)^{2} + \bigl(R'(s)\bigr)^{2} T(s)^{2}=\text{constante}é equivalente a dizer que f(I) está contida numa esfera. A dedução é construtiva: o centro da esfera é o vetor constante c=f(s)+R(s)\mathbf{n}(s)+R'(s)T(s)\mathbf{b}(s),que se mostra independente de s exatamente quando a quantidade acima é constante.

Resposta

A curva f(I) está contida em uma esfera se, e somente se,
R^{2}+(R')^{2}T^{2}=\text{constante},
onde R=\dfrac{1}{k}, T=\dfrac{1}{\tau} e R'=\dfrac{dR}{ds}.

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