Dada a curva parametrizada (hélice) onde
,
a) Mostre que o parámetro s é o comprimento do arco.
b) Determine a curvatura e a torção de
.
c) Determine o plano osculador de
.
d) Mostre que a reta que contém
encontra o eixo Oz sob um ângulo constante igual a
.
e) Mostre que a tangente a
faz um ângulo constante com o eixo Oz.
b) Determine a curvatura e a torção de
c) Determine o plano osculador de
d) Mostre que a reta que contém
e) Mostre que a tangente a
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada (hélice)
As perguntas são:
(a) Mostrar que o parâmetro é o comprimento de arco (isto é, que a velocidade tem norma
).
(b) Determinar a curvatura e a torção
de
.
(c) Determinar o plano osculador de em um ponto genérico
.
(d) Mostrar que a reta que contém encontra o eixo
sob um ângulo constante igual a
.
(e) Mostrar que a tangente a faz um ângulo constante com o eixo
.
(a) Mostrar que o parâmetro
(b) Determinar a curvatura
(c) Determinar o plano osculador de
(d) Mostrar que a reta que contém
(e) Mostrar que a tangente a
Vou usar as definições padrão (e explicá‑las quando usadas): a velocidade
, a curvatura para parâmetro de arco
, e a torção para parâmetro de arco usando
Passo 2
Primeiro calculo a derivada primeira
(velocidade):
Explico rapidamente: para cada componente se aplica a regra da cadeia; por exemplo
.
Agora calculo a norma da velocidade:
Uso
e
para obter
Como a velocidade tem norma
para todo
,
é de fato o comprimento de arco (parâmetro arc‑length). Isso responde (a).
Passo 3
Como
é parâmetro de arco, a curvatura é
. Calculo a segunda derivada:
Novamente aplicação da regra da cadeia. A norma é
Portanto a curvatura é
Explicação pedagógica rápida: para uma curva parametrizada por comprimento de arco,
mede quão rapidamente a direção tangente muda por unidade de comprimento; matematicamente
.
Passo 4
Para obter a torção uso a fórmula que envolve a terceira derivada. Calculo
:
Agora preciso de
. Já temos
Faço o produto vetorial (mostro o resultado direto, a conta é rotina):
Calculo o produto escalar com
:
E a norma ao quadrado do produto vetorial é
Finalmente a torção é
Comentário didático: a torção mede quão a curva “torce” fora do plano osculador; para hélices ela é constante e proporcional ao passo vertical
.
Passo 5
Agora obtenho as direções de normal e binormal para escrever o plano osculador. Como
é parâmetro de arco,
pois
já foi calculada e
. O binormal é
Definição/explicação: o plano osculador em
é o plano que contém os vetores
e
e passa pelo ponto
. Uma forma conveniente da equação do plano osculador é dizer que seu vetor normal é
; assim o plano é dado por
onde
é um ponto genérico. Se quiser escrita explícita:
Isso resolve (c): plano osculador com normal
como acima.
Passo 6
Mostro agora que a reta contendo
encontra o eixo
com ângulo
. A direção do eixo
é o vetor unitário
. A direção da reta que contém
é
, que já achamos:
O produto escalar com
é
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, logo o ângulo entre a reta direção
e o eixo
é
. Observação pedagógica: como a componente
de
é nula, a normal é sempre tangente ao plano horizontal, portanto perpendicular ao eixo vertical.
Passo 7
Finalmente mostro que a tangente faz um ângulo constante com o eixo
. Use
e
. O cosseno do ângulo
entre
e
é
pois a componente
de
é
e
. Como
e
são constantes,
é constante, logo o ângulo
é constante. Isso responde (e).
Resposta
(a)
é o comprimento de arco, pois
.
(b)
(c) O plano osculador em tem normal
e equação
.
(d) A reta de direção é ortogonal ao eixo
(ângulo
), pois
.
(e) A tangente forma um ângulo constante com o eixo
.
(b)
(c) O plano osculador em
(d) A reta de direção
(e) A tangente forma um ângulo constante