Dada a curva parametrizada (hélice) onde c^{2}=a^{2}+b^{2},
\mathcal{H}(s)=\left(a \cos \frac{s}{c}, a \operatorname{sen} \frac{s}{c}, b \frac{s}{c}\right), a \in R_{3}
a) Mostre que o parámetro s é o comprimento do arco.
b) Determine a curvatura e a torção de \mathcal{H}.
c) Determine o plano osculador de f.
d) Mostre que a reta que contém n(s) encontra o eixo Oz sob um ângulo constante igual a \pi / 2.
e) Mostre que a tangente a f faz um ângulo constante com o eixo Oz.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada (hélice)
\mathcal{H}(s)=\left(a\cos\frac{s}{c},\;a\sin\frac{s}{c},\;b\frac{s}{c}\right), \qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que o parâmetro s é o comprimento de arco (isto é, que a velocidade tem norma 1).
(b) Determinar a curvatura \kappa e a torção \tau de \mathcal{H}.
(c) Determinar o plano osculador de \mathcal{H} em um ponto genérico s.
(d) Mostrar que a reta que contém n(s) encontra o eixo O z sob um ângulo constante igual a \pi/2.
(e) Mostrar que a tangente a \mathcal{H} faz um ângulo constante com o eixo O z.
Vou usar as definições padrão (e explicá‑las quando usadas): a velocidade \mathcal{H}'(s), a curvatura para parâmetro de arco \kappa=\|\mathcal{H}''(s)\|, e a torção para parâmetro de arco usando
\tau=\frac{\big(\mathcal{H}'(s)\times\mathcal{H}''(s)\big)\cdot\mathcal{H}'''(s)}{\|\mathcal{H}'(s)\times\mathcal{H}''(s)\|^{2}}.

Passo 2

Primeiro calculo a derivada primeira \mathcal{H}'(s) (velocidade):
\mathcal{H}'(s)=\left(-a\frac{1}{c}\sin\frac{s}{c},\;a\frac{1}{c}\cos\frac{s}{c},\;b\frac{1}{c}\right).
Explico rapidamente: para cada componente se aplica a regra da cadeia; por exemplo \dfrac{d}{ds}\!\big(a\cos\frac{s}{c}\big)=a\cdot(-\sin\frac{s}{c})\cdot\frac{1}{c}.
Agora calculo a norma da velocidade:
\|\mathcal{H}'(s)\| =\sqrt{\left(a\frac{1}{c}\right)^{2}\sin^{2}\frac{s}{c}+\left(a\frac{1}{c}\right)^{2}\cos^{2}\frac{s}{c}+\left(b\frac{1}{c}\right)^{2}}.
Uso \sin^{2}+\cos^{2}=1 e c^{2}=a^{2}+b^{2} para obter
\|\mathcal{H}'(s)\| =\frac{1}{c}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{c}\,c=1.
Como a velocidade tem norma 1 para todo s, s é de fato o comprimento de arco (parâmetro arc‑length). Isso responde (a).

Passo 3

Como s é parâmetro de arco, a curvatura é \kappa=\|\mathcal{H}''(s)\|. Calculo a segunda derivada:
\mathcal{H}''(s)=\left(-a\frac{1}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\;-a\frac{1}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\;0\right).
Novamente aplicação da regra da cadeia. A norma é
\|\mathcal{H}''(s)\| =\sqrt{\left(a\frac{1}{c^{2}}\right)^{2}\cos^{2}\frac{s}{c}+\left(a\frac{1}{c^{2}}\right)^{2}\sin^{2}\frac{s}{c}} =\frac{a}{c^{2}}\sqrt{\cos^{2}+\sin^{2}}=\frac{a}{c^{2}}.
Portanto a curvatura é
\kappa=\frac{a}{c^{2}}.
Explicação pedagógica rápida: para uma curva parametrizada por comprimento de arco, \kappa mede quão rapidamente a direção tangente muda por unidade de comprimento; matematicamente \kappa=\|T'(s)\|=\|\mathcal{H}''(s)\|.

Passo 4

Para obter a torção uso a fórmula que envolve a terceira derivada. Calculo \mathcal{H}'''(s):
\mathcal{H}'''(s)=\left(a\frac{1}{c^{3}}\sin\frac{s}{c},\;-a\frac{1}{c^{3}}\cos\frac{s}{c},\;0\right).
Agora preciso de \mathcal{H}'(s)\times\mathcal{H}''(s). Já temos
\mathcal{H}'(s)=\Big(-a\frac{1}{c}\sin\frac{s}{c},\;a\frac{1}{c}\cos\frac{s}{c},\;b\frac{1}{c}\Big),
\mathcal{H}''(s)=\Big(-a\frac{1}{c^{2}}\cos\frac{s}{c},\;-a\frac{1}{c^{2}}\sin\frac{s}{c},\;0\Big).
Faço o produto vetorial (mostro o resultado direto, a conta é rotina):
\mathcal{H}'(s)\times\mathcal{H}''(s) =\frac{a}{c^{3}}\big(b\sin\frac{s}{c},\;-b\cos\frac{s}{c},\;a\big).
Calculo o produto escalar com \mathcal{H}'''(s):
\big(\mathcal{H}'\times\mathcal{H}''\big)\cdot\mathcal{H}'''=\frac{a}{c^{3}}\cdot\frac{a}{c^{3}}\;b\big(\sin^{2}\frac{s}{c}+\cos^{2}\frac{s}{c}\big) =\frac{a^{2}b}{c^{6}}.
E a norma ao quadrado do produto vetorial é
\|\mathcal{H}'\times\mathcal{H}''\|^{2}=\left(\frac{a}{c^{3}}\right)^{2}\big(b^{2}(\sin^{2}+\cos^{2})+a^{2}\big) =\frac{a^{2}}{c^{6}}(b^{2}+a^{2})=\frac{a^{2}}{c^{4}}.
Finalmente a torção é
\tau=\frac{\dfrac{a^{2}b}{c^{6}}}{\dfrac{a^{2}}{c^{4}}}=\frac{b}{c^{2}}.
Comentário didático: a torção mede quão a curva “torce” fora do plano osculador; para hélices ela é constante e proporcional ao passo vertical b.

Passo 5

Agora obtenho as direções de normal e binormal para escrever o plano osculador. Como s é parâmetro de arco,
T(s)=\mathcal{H}'(s)=\Big(-\frac{a}{c}\sin\frac{s}{c},\;\frac{a}{c}\cos\frac{s}{c},\;\frac{b}{c}\Big),
N(s)=\frac{\mathcal{H}''(s)}{\|\mathcal{H}''(s)\|} =\left(-\cos\frac{s}{c},\;-\sin\frac{s}{c},\;0\right),
pois \mathcal{H}'' já foi calculada e \|\mathcal{H}''\|=a/c^{2}. O binormal é
B(s)=T(s)\times N(s)=\frac{1}{c}\big(b\sin\frac{s}{c},\;-b\cos\frac{s}{c},\;a\big).
Definição/explicação: o plano osculador em s é o plano que contém os vetores T(s) e N(s) e passa pelo ponto \mathcal{H}(s). Uma forma conveniente da equação do plano osculador é dizer que seu vetor normal é B(s); assim o plano é dado por
\big(X-\mathcal{H}(s)\big)\cdot B(s)=0,
onde X=(x,y,z) é um ponto genérico. Se quiser escrita explícita:
\frac{b}{c}\sin\frac{s}{c}\big(x-a\cos\frac{s}{c}\big) -\frac{b}{c}\cos\frac{s}{c}\big(y-a\sin\frac{s}{c}\big) +\frac{a}{c}\big(z-b\frac{s}{c}\big)=0.
Isso resolve (c): plano osculador com normal B(s) como acima.

Passo 6

Mostro agora que a reta contendo n(s) encontra o eixo O z com ângulo \pi/2. A direção do eixo O z é o vetor unitário e_{z}=(0,0,1). A direção da reta que contém n(s) é N(s), que já achamos:
N(s)=\left(-\cos\frac{s}{c},\;-\sin\frac{s}{c},\;0\right).
O produto escalar com e_{z} é
N(s)\cdot e_{z}=0.
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais, logo o ângulo entre a reta direção N(s) e o eixo O z é \pi/2. Observação pedagógica: como a componente z de N(s) é nula, a normal é sempre tangente ao plano horizontal, portanto perpendicular ao eixo vertical.

Passo 7

Finalmente mostro que a tangente faz um ângulo constante com o eixo O z. Use T(s) e e_{z}=(0,0,1). O cosseno do ângulo \theta entre T e e_{z} é
\cos\theta = T(s)\cdot e_{z}=\frac{b}{c},
pois a componente z de T(s) é b/c e \|T\|=1. Como b e c são constantes, \cos\theta é constante, logo o ângulo \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{b}{c}\big) é constante. Isso responde (e).

Resposta

(a) s é o comprimento de arco, pois \|\mathcal{H}'(s)\|=1.
(b) \kappa=\dfrac{a}{c^{2}},\qquad \tau=\dfrac{b}{c^{2}}.
(c) O plano osculador em s tem normal B(s)=\dfrac{1}{c}\big(b\sin\frac{s}{c},\;-b\cos\frac{s}{c},\;a\big) e equação \big(X-\mathcal{H}(s)\big)\cdot B(s)=0.
(d) A reta de direção N(s) é ortogonal ao eixo O z (ângulo \pi/2), pois N(s)\cdot(0,0,1)=0.
(e) A tangente forma um ângulo constante \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{b}{c}\big) com o eixo O z.

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