3- Sabendo que a massa de uma placa fina é dada por \iint p(x, y) d A, calcule a massa de uma
placa plana circular dada por x^{2}+y^{2} \leq 4, aja densidade é dada por p(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá uma placa plana limitada pelo disco circular definido por x^{2}+y^{2}\leq 4 e pede para calcular a massa da placa quando a densidade superficial é p(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • Região D: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\} (disco de raio 2 centrado na origem).
  • Densidade superficial: p(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A massa da placa é dada por \iint_{D} p(x,y)\,dA.
O que é pedido:
  • Calcular \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA, isto é, encontrar a massa numérica da placa.

Passo 2

Por que e como trocar para coordenadas polares (sem resolver ainda): quando a região é um círculo centrado na origem e a densidade depende de x^{2}+y^{2}, costuma ser muito mais simples usar coordenadas polares.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo.
Explicação do elemento de área na mudança de variáveis (Jacobiano) de forma intuitiva e didática:
  • Em coordenadas retangulares o elemento de área é dA=dx\,dy.
  • Em polares, pequenos incrementos dr e d\theta geram um pequeno elemento de área aproximadamente retangular com lados dr (na direção radial) e r\,d\theta (na direção angular), então a área desse pequeno elemento é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
    Assim, ao mudar para polares usamos:
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Reescrever a densidade e a região em polares:
  • A densidade depende de x^{2}+y^{2}. Em polares temos x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
p(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r,
já que r\ge 0.
  • A região D é o disco de raio 2, logo em polares os limites são 0\le r\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi (varrendo todo o disco).
Montar a integral dupla em polares:
\iint_{D} p(x,y)\,dA \;=\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \bigl(p(x,y)\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Substituindo p(x,y)=r obtemos o integrando multiplicado pelo Jacobiano:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\cdot r\,dr\,d\theta \;=\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo, separando as integrais:
Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-0 = \frac{8}{3}.
Agora a integral em \theta, que é simples porque o resultado anterior não depende de \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{8}{3}\,d\theta = \frac{8}{3}\cdot\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = \frac{8}{3}\cdot 2\pi = \frac{16\pi}{3}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: a densidade cresce linearmente com a distância ao centro (mais massa por área quanto mais longe do centro). O resultado \dfrac{16\pi}{3} é positivo e tem a dependência esperada em \pi por tratar-se de uma região circular; dimensionalmente faz sentido para massa (se a densidade tiver unidades compatíveis).

Resposta

\dfrac{16\pi}{3}

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