3- Sabendo que a massa de uma placa fina é dada por
, calcule a massa de uma
placa plana circular dada por
, aja densidade é dada por
placa plana circular dada por
Passo 1
O enunciado dá uma placa plana limitada pelo disco circular definido por
e pede para calcular a massa da placa quando a densidade superficial é
.
Informações dadas:
- Região
: (disco de raio centrado na origem). - Densidade superficial:
. - A massa da placa é dada por
.
O que é pedido:
- Calcular
, isto é, encontrar a massa numérica da placa.
Passo 2
Por que e como trocar para coordenadas polares (sem resolver ainda): quando a região é um círculo centrado na origem e a densidade depende de
, costuma ser muito mais simples usar coordenadas polares.
Definição das coordenadas polares:
onde
e
é o ângulo.
Explicação do elemento de área na mudança de variáveis (Jacobiano) de forma intuitiva e didática:
- Em coordenadas retangulares o elemento de área é
. - Em polares, pequenos incrementos
e geram um pequeno elemento de área aproximadamente retangular com lados (na direção radial) e (na direção angular), então a área desse pequeno elemento é .
Assim, ao mudar para polares usamos:
Passo 3
Reescrever a densidade e a região em polares:
- A densidade depende de
. Em polares temos , então
já que
.
- A região
é o disco de raio , logo em polares os limites são e (varrendo todo o disco).
Montar a integral dupla em polares:
Substituindo
obtemos o integrando multiplicado pelo Jacobiano:
Passo 4
Calcular a integral passo a passo, separando as integrais:
Primeiro a integral em :
Primeiro a integral em
Agora a integral em
, que é simples porque o resultado anterior não depende de
:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: a densidade cresce linearmente com a distância ao centro (mais massa por área quanto mais longe do centro). O resultado
é positivo e tem a dependência esperada em
por tratar-se de uma região circular; dimensionalmente faz sentido para massa (se a densidade tiver unidades compatíveis).