(44) Sejam V um espaço vetorial, \mathcal{B}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V e c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n} escalares não nulos. Prove que \mathcal{B}_{1}=\left\{c_{1} v_{1}, c_{2} v_{2}, \ldots, c_{n} v_{n}\right\} também é um base de V.
(45) Seja \mathcal{B}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} uma base para um espaço vetorial V. Prove que
\left\{v_{1}, v_{1}+v_{2}, v_{1}+v_{2}+v_{3}, \ldots, v_{1}+v_{2}+v_{3}+\ldots+v_{n},\right\}

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e as informações dadas.
  • Questão (44). Dados:
    • V é um espaço vetorial.
    • \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} é uma base de V.
    • c_{1},c_{2},\ldots,c_{n} são escalares não nulos (ou seja, c_{i}\neq0 para todo i).
    • Queremos provar que \mathcal{B}_{1}=\{c_{1}v_{1},c_{2}v_{2},\ldots,c_{n}v_{n}\} também é uma base de V.
  • Questão (45). Dados:
    • \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} é uma base de V.
    • Queremos provar que o conjunto \{\,v_{1},\;v_{1}+v_{2},\;v_{1}+v_{2}+v_{3},\;\ldots,\;v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}\,\}é uma base de V.
Observação: para mostrar que um conjunto finito de n vetores em um espaço vetorial de dimensão n é uma base, basta mostrar que é linearmente independente (ou, equivalente, que gera o espaço). Vou usar definições elementares e argumentos diretos para cada item.

Passo 2

Lembretes/definições úteis (explicação curta e didática):
  • Um conjunto de vetores é uma base de V se (i) gera V (ou seja, todo vetor de V é combinação linear deles) e (ii) é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear que dá o vetor zero tem todos os coeficientes iguais a zero).
  • Se \mathcal{B}=\{v_{1},\dots,v_{n}\} é base, então toda representação de um vetor v\in V na forma v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i} tem os coeficientes \alpha_{i} únicos. Isso significa que os v_{i} são linearmente independentes e geram V.
  • Estratégia padrão: para conjuntos construídos a partir de uma base conhecida, mostrar linearidade e geração geralmente é mais direto fazendo transformações nas combinações lineares e usando a unicidade das coordenadas na base original.

Passo 3

Prova de (44) — linearmente independente:
  • Tome uma combinação linear qualquer dos vetores de \mathcal{B}_{1} que resulta no vetor zero: \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\bigl(c_{i}v_{i}\bigr)=0,onde \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} são escalares (ainda desconhecidos).
  • Reescrevendo dentro da soma obtemos \sum_{i=1}^{n}(\alpha_{i}c_{i})v_{i}=0.
  • Como \mathcal{B}=\{v_{1},\ldots,v_{n}\} é uma base, os v_{i} são linearmente independentes. Logo, os coeficientes da combinação acima devem ser todos zero: \alpha_{i}c_{i}=0\quad\text{para todo }i=1,\ldots,n.
  • Como cada c_{i}\neq0, podemos dividir e obter \alpha_{i}=0 para todo i.
  • Conclusão: a única combinação linear de vetores de \mathcal{B}_{1} que dá zero é a combinação trivial; portanto \mathcal{B}_{1} é linearmente independente.

Passo 4

Prova de (44) — gera V (span):
  • Seja v\in V. Como \mathcal{B} é base, existem escalares únicos \beta_{1},\ldots,\beta_{n} tais que v=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i}.
  • Reescrevendo cada v_{i} em termos dos vetores de \mathcal{B}_{1}, temos v=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i}=\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}\frac{1}{c_{i}}\bigl(c_{i}v_{i}\bigr).
  • Os escalares \beta_{i}\frac{1}{c_{i}} são bem definidos porque c_{i}\neq0. Assim v é combinação linear dos vetores c_{i}v_{i}.
  • Conclusão: \mathcal{B}_{1} gera V.

Passo 5

Conclusão de (44):
  • Já mostramos que \mathcal{B}_{1} é linearmente independente (Passo 3) e gera V (Passo 4). Logo \mathcal{B}_{1} é uma base de V.
  • Intuição rápida e útil: multiplicar cada vetor de uma base por escalar não nulo corresponde a aplicar uma transformação diagonal invertível nas coordenadas; a independência e o span se preservam.

Passo 6

Começo da prova de (45) — organização do que vamos fazer:
  • Defina, para k=1,\ldots,n, w_{k}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{k}.O conjunto pedido é \{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\}.
  • Objetivo: mostrar que \{w_{1},\ldots,w_{n}\} é uma base. Novamente mostrarei que é linearmente independente e que gera V.

Passo 7

Prova de (45) — escrever combinações em termos da base original:
  • Considere uma combinação linear dos w_{k} que dá zero: \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}w_{k}=0.
  • Substituindo w_{k}=\sum_{i=1}^{k}v_{i} obtemos \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\Bigl(\sum_{i=1}^{k}v_{i}\Bigr)=0.
  • Troque a ordem das somas (argumento padrão de somas finitas): cada v_{i} aparece em todos os w_{k} com k\ge i. Assim \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\Bigl(\sum_{i=1}^{k}v_{i}\Bigr) =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\sum_{k=i}^{n}\alpha_{k}\Bigr)v_{i}=0.
  • Como \{v_{1},\ldots,v_{n}\} é base (portanto linearmente independente), seus coeficientes na soma acima devem ser zero. Assim, para cada i=1,\ldots,n, \sum_{k=i}^{n}\alpha_{k}=0.

Passo 8

Prova de (45) — resolver o sistema triangular para os \alpha_{k}:
  • Das igualdades obtidas em ordem decrescente:
    • Para i=n: \sum_{k=n}^{n}\alpha_{k}=\alpha_{n}=0.
    • Para i=n-1: \sum_{k=n-1}^{n}\alpha_{k}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n}=0. Como \alpha_{n}=0, resulta \alpha_{n-1}=0.
    • Em seguida para i=n-2: \alpha_{n-2}+\alpha_{n-1}+\alpha_{n}=0 implica \alpha_{n-2}=0, e assim por diante.
  • Por retroalimentação (back-substitution) obtemos \alpha_{k}=0 para todo k=1,\ldots,n.
  • Conclusão: a única combinação linear que dá zero é a trivial; portanto \{w_{1},\ldots,w_{n}\} é linearmente independente.

Passo 9

Prova de (45) — gera V:
  • Mostrarei que cada v_{i} pode ser escrito como combinação linear dos w_{k}. Observe as diferenças: w_{1}=v_{1},
w_{2}-w_{1}=(v_{1}+v_{2})-v_{1}=v_{2},
w_{3}-w_{2}=v_{3},
e, em geral, para k\ge2,
w_{k}-w_{k-1}=v_{k}.
  • Assim cada v_{k} é combinação linear (na verdade diferença) dos w's: v_{1}=w_{1} e v_{k}=w_{k}-w_{k-1} para k\ge2.
  • Como os v_{k} geram V, e cada v_{k} está no espaço gerado pelos w's, segue que os w's geram V.
  • Conclusão: \{w_{1},\ldots,w_{n}\} gera V.

Passo 10

Conclusão de (45) e observação final:
  • Já demonstramos que \{w_{1},\ldots,w_{n}\} é linearmente independente (Passo 8) e gera V (Passo 9). Portanto é uma base de V.
  • Observação intuitiva: a passagem de \{v_{i}\} para \{w_{k}\} corresponde a multiplicar o vetor de coordenadas por uma matriz triangular com uns; essa matriz é invertível, então a propriedade de base se preserva. Mas o argumento feito acima é totalmente elementar e não exige conhecimento de matrizes.

Resposta

(44) \mathcal{B}_{1}=\{c_{1}v_{1},c_{2}v_{2},\ldots,c_{n}v_{n}\} é uma base de V.
(45) O conjunto \{v_{1},\,v_{1}+v_{2},\,v_{1}+v_{2}+v_{3},\,\ldots,\,v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}\} é uma base de V.

Exercícios relacionados