(44) Sejam
um espaço vetorial,
uma base de
e
escalares não nulos. Prove que
também é um base de
.
(45) Seja
uma base para um espaço vetorial
. Prove que
(45) Seja
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado pede e as informações dadas.
-
Questão (44). Dados:
-
é um espaço vetorial. -
é uma base de . -
são escalares não nulos (ou seja, para todo ). - Queremos provar que
também é uma base de .
-
-
Questão (45). Dados:
-
é uma base de . - Queremos provar que o conjunto
é uma base de .
-
Observação: para mostrar que um conjunto finito de
vetores em um espaço vetorial de dimensão
é uma base, basta mostrar que é linearmente independente (ou, equivalente, que gera o espaço). Vou usar definições elementares e argumentos diretos para cada item.
Passo 2
Lembretes/definições úteis (explicação curta e didática):
- Um conjunto de vetores é uma base de
se (i) gera (ou seja, todo vetor de é combinação linear deles) e (ii) é linearmente independente (ou seja, a única combinação linear que dá o vetor zero tem todos os coeficientes iguais a zero). - Se
é base, então toda representação de um vetor na forma tem os coeficientes únicos. Isso significa que os são linearmente independentes e geram . - Estratégia padrão: para conjuntos construídos a partir de uma base conhecida, mostrar linearidade e geração geralmente é mais direto fazendo transformações nas combinações lineares e usando a unicidade das coordenadas na base original.
Passo 3
Prova de (44) — linearmente independente:
- Tome uma combinação linear qualquer dos vetores de
que resulta no vetor zero: onde são escalares (ainda desconhecidos). - Reescrevendo dentro da soma obtemos
- Como
é uma base, os são linearmente independentes. Logo, os coeficientes da combinação acima devem ser todos zero: - Como cada
, podemos dividir e obter para todo . - Conclusão: a única combinação linear de vetores de
que dá zero é a combinação trivial; portanto é linearmente independente.
Passo 4
Prova de (44) — gera
(span):
- Seja
. Como é base, existem escalares únicos tais que - Reescrevendo cada
em termos dos vetores de , temos - Os escalares
são bem definidos porque . Assim é combinação linear dos vetores . - Conclusão:
gera .
Passo 5
Conclusão de (44):
- Já mostramos que
é linearmente independente (Passo 3) e gera (Passo 4). Logo é uma base de . - Intuição rápida e útil: multiplicar cada vetor de uma base por escalar não nulo corresponde a aplicar uma transformação diagonal invertível nas coordenadas; a independência e o span se preservam.
Passo 6
Começo da prova de (45) — organização do que vamos fazer:
- Defina, para
, O conjunto pedido é . - Objetivo: mostrar que
é uma base. Novamente mostrarei que é linearmente independente e que gera .
Passo 7
Prova de (45) — escrever combinações em termos da base original:
- Considere uma combinação linear dos
que dá zero: - Substituindo
obtemos - Troque a ordem das somas (argumento padrão de somas finitas): cada
aparece em todos os com . Assim - Como
é base (portanto linearmente independente), seus coeficientes na soma acima devem ser zero. Assim, para cada ,
Passo 8
Prova de (45) — resolver o sistema triangular para os
:
- Das igualdades obtidas em ordem decrescente:
- Para
: . - Para
: . Como , resulta . - Em seguida para
: implica , e assim por diante.
- Para
- Por retroalimentação (back-substitution) obtemos
para todo . - Conclusão: a única combinação linear que dá zero é a trivial; portanto
é linearmente independente.
Passo 9
Prova de (45) — gera
:
- Mostrarei que cada
pode ser escrito como combinação linear dos . Observe as diferenças:
e, em geral, para
,
- Assim cada
é combinação linear (na verdade diferença) dos 's: e para . - Como os
geram , e cada está no espaço gerado pelos 's, segue que os 's geram . - Conclusão:
gera .
Passo 10
Conclusão de (45) e observação final:
- Já demonstramos que
é linearmente independente (Passo 8) e gera (Passo 9). Portanto é uma base de . - Observação intuitiva: a passagem de
para corresponde a multiplicar o vetor de coordenadas por uma matriz triangular com uns; essa matriz é invertível, então a propriedade de base se preserva. Mas o argumento feito acima é totalmente elementar e não exige conhecimento de matrizes.
Resposta
(44)
é uma base de
.
(45) O conjunto
é uma base de
.