Mostre que o conjunto formado pelos números 1,-1,0 se comporta como um grupo. É cíclico? Caso afirmativo, qual(is) o(s) elemento(s) gerador(es)?

Passo 1

Beleza, vamos mostrar que o conjunto , com a operação de soma módulo 3, é um grupo.
Conteúdo: teoria de grupos (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso) e depois ver se é cíclico (um elemento “gera” todo o grupo).

Passo 2

Definindo a operação: para 1 + 1 = 2 equiv -1 pmod3, (-1) + (-1) = -2 equiv 1 pmod3, 1 + (-1) = 0 , a soma é feita em e depois reduzida módulo 3. Exemplo:
Isso garante que quando somamos dois elementos de , o resultado volta a ser em – é o fechamento.

Passo 3

Associatividade: a soma em (a + b) + c equiv a + (b + c) pmod3 já é associativa, e reduzir módulo 3 não muda isso. Ou seja, para quaisquer :
Como é só uma forma de “ajustar” o resultado, continuamos tendo a mesma ordem de soma.

Passo 4

Elemento neutro: é o a + 0 equiv a pmod3 e 0 + a equiv a pmod3 , pois para todo ,
Logo, 0 “não faz nada” na soma.

Passo 5

Inverso de cada elemento: para cada precisamos achar tal que .
  • Se , escolhemos já que .
  • Se , escolhemos .
  • Se , o inverso é ele mesmo: .

Passo 6

Já mostramos os quatro axiomas de grupo, logo 1,,1+1equiv -1,,1+1+1equiv 0pmod3 é um grupo abeliano.
Agora, para ver se é cíclico, basta encontrar um elemento cujo “poder” gere todo o conjunto. No caso de soma, usamos múltiplas somas:
  • Começando em -1,,-1+(-1)equiv 1,,-1+(-1)+(-1)equiv 0 : Isso dá .
  • O mesmo vale para :

Resposta

O conjunto com soma módulo 3 é de fato um grupo e, além disso, é cíclico. Os geradores são e .

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