Mostre que o conjunto formado pelos números
se comporta como um grupo. É cíclico? Caso afirmativo, qual(is) o(s) elemento(s) gerador(es)?
Passo 1
Beleza, vamos mostrar que o conjunto
, com a operação de soma módulo 3, é um grupo.
Conteúdo: teoria de grupos (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso) e depois ver se é cíclico (um elemento “gera” todo o grupo).
Conteúdo: teoria de grupos (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso) e depois ver se é cíclico (um elemento “gera” todo o grupo).
Passo 2
Definindo a operação: para
, a soma
é feita em
e depois reduzida módulo 3. Exemplo:
Isso garante que quando somamos dois elementos de
, o resultado volta a ser em
– é o fechamento.
Passo 3
Associatividade: a soma em
já é associativa, e reduzir módulo 3 não muda isso. Ou seja, para quaisquer
:
Como
é só uma forma de “ajustar” o resultado, continuamos tendo a mesma ordem de soma.
Passo 4
Elemento neutro: é o
, pois para todo
,
Logo, 0 “não faz nada” na soma.
Passo 5
Inverso de cada elemento: para cada
precisamos achar
tal que
.
- Se
, escolhemos já que . - Se
, escolhemos . - Se
, o inverso é ele mesmo: .
Passo 6
Já mostramos os quatro axiomas de grupo, logo
é um grupo abeliano.
Agora, para ver se é cíclico, basta encontrar um elemento cujo “poder” gere todo o conjunto. No caso de soma, usamos múltiplas somas:
- Começando em
: Isso dá . - O mesmo vale para
:
Resposta
O conjunto
com soma módulo 3 é de fato um grupo e, além disso, é cíclico. Os geradores são
e
.