Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
x^{2} d y+\left(y-x y-x e^{x}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}\,dy+\bigl(y - x\,y - x e^{x}\bigr)\,dx=0
e pede para classificá-la quanto à linearidade e determinar a sua ordem. Estamos no conteúdo de equações diferenciais ordinárias e vamos precisar reconhecer a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Para ver a forma padrão, isolamos dy/dx. Dividindo tudo por dx e por x^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{1 - x}{x^{2}}\,y = \frac{e^{x}}{x}\,.

Passo 3

Comparando com a forma geral
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x),
vemos que p(x)=(1-x)/x^{2} e q(x)=e^{x}/x, ambas funções apenas de x, e que y e sua derivada dy/dx aparecem de modo linear. Além disso, o maior valor de derivada é de primeira ordem.

Resposta

A equação diferencial é linear de ordem 1.

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