- Mostre que, no conjunto
, as operações definidas abaixo satisfazem a todas as condições da definição de espaço vetorial real, exceto à lei associativa para a multiplicação por escalar e às leis distributivas.
Adição:
e
Multiplicação por escalar:
se
e
0 se
, onde
e
.
5. Também definem-se espaços vetoriais sobre o conjunto dos números racionais (o corpo dos racionais), apenas fazendo com que a operação multiplicação por escalar considere apenas escalares racionais, e mantendo o restante da definição inalterado. Mostre que o conjunto
é um espaço vetorial sobre os racionais.
Multiplicação por escalar:
5. Também definem-se espaços vetoriais sobre o conjunto dos números racionais (o corpo dos racionais), apenas fazendo com que a operação multiplicação por escalar considere apenas escalares racionais, e mantendo o restante da definição inalterado. Mostre que o conjunto
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo:
– Na parte (4) temos o conjunto
Precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial sobre , com as operações usuais, é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
Verificação de que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: para quaisquer
, . - Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso: cada
é seu próprio inverso, pois . - Comutatividade: pela tabela de
, . - Associatividade: como
é a soma em , vale para todo .
Passo 3
Fechamento e identidade para multiplicação por escalar:
– Fechamento: se e
, então
é ou
ou
, logo em
.
– Escalar age como identidade: para todo
, como
,
– Fechamento: se
– Escalar
Passo 4
Contraexemplo à associatividade da multiplicação por escalar:
Escolha ,
e
. Então
Escolha
enquanto
Logo
que mostra que não vale
.
Passo 5
Contraexemplo à lei distributiva
:
Escolha ,
e
. Então
Escolha
enquanto
Como
, falha também a distributiva de soma de escalares.
Passo 6
Verificação de que
é espaço vetorial sobre
:
-
é grupo abeliano (adição componente a componente em ). - Fechamento de
para . -
. - Associatividade de escalares:
. - Distributiva de escalares sobre vetores:
- Distributiva sobre escalares:
Todas as leis clássicas valem porque
é corpo e a adição e multiplicação em
satisfazem as mesmas leis.
Resposta
(4) No par
todos os axiomas de espaço vetorial valem, exceto a associatividade da multiplicação por escalar e a distributiva
.
(5) , com as operações usuais e escalares em
, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial e é, portanto, um espaço vetorial sobre
.
(5)