1. Mostre que, no conjunto A=0,1, as operações definidas abaixo satisfazem a todas as condições da definição de espaço vetorial real, exceto à lei associativa para a multiplicação por escalar e às leis distributivas.
Adição: 0 oplus 0=0,0 oplus 1=1,1 oplus 0=1 e 1 oplus 1=0
Multiplicação por escalar: alpha odot x=x se alpha>0 e alpha odot x= 0 se alpha <= 0, onde alpha in R e x in A.
5. Também definem-se espaços vetoriais sobre o conjunto dos números racionais (o corpo dos racionais), apenas fazendo com que a operação multiplicação por escalar considere apenas escalares racionais, e mantendo o restante da definição inalterado. Mostre que o conjunto Q^2 é um espaço vetorial sobre os racionais.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo:
– Na parte (4) temos o conjunto
Precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial sobre , com as operações usuais, é um espaço vetorial sobre o corpo .

Passo 2

Verificação de que (A,oplus) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: para quaisquer x,yin A, xoplus yin0,1=A.
  2. Elemento neutro: 0 satisfaz 0oplus x = xoplus 0 = x.
  3. Inverso: cada xin A é seu próprio inverso, pois xoplus x = 0.
  4. Comutatividade: pela tabela de oplus, xoplus y = yoplus x.
  5. Associatividade: como oplus é a soma em Z2, vale (xoplus y)oplus z = xoplus(yoplus z) para todo x,y,zin A.

Passo 3

Fechamento e identidade para multiplicação por escalar:
– Fechamento: se alphainR e xin A, então alphaodot x é ou xin A ou 0in A, logo em A.
– Escalar 1 age como identidade: para todo xin A, como 1>0,
1odot x = x

Passo 4

Contraexemplo à associatividade da multiplicação por escalar:
Escolha alpha=-1, beta=-1 e x=1. Então
betaodot x = -1odot1 = 0,
alphaodot(betaodot x) = -1odot0 = 0,
enquanto
alphabeta = (-1)cdot(-1)=1>0 Longrightarrow (alphabeta)odot x = 1odot1 = 1
Logo
alphaodot(betaodot x) = 0 neq 1 = (alphabeta)odot x,
que mostra que não vale alphaodot(betaodot x) = (alphabeta)odot x.

Passo 5

Contraexemplo à lei distributiva (alpha+beta)odot x = alphaodot x oplus betaodot x:
Escolha alpha=1, beta=-2 e x=1. Então
alpha+beta = 1 + (-2) = -1 <= 0 Longrightarrow (alpha+beta)odot x = -1odot1 = 0,
enquanto
alphaodot x = 1odot1 = 1, betaodot x = -2odot1 = 0,
alphaodot x oplus betaodot x = 1 oplus 0 = 1
Como 0 neq 1, falha também a distributiva de soma de escalares.

Passo 6

Verificação de que Q^2 é espaço vetorial sobre Q:
  1. (Q^2,+) é grupo abeliano (adição componente a componente em Q).
  2. Fechamento de lambda,(x,y) = (lambda x,lambda y) para lambdainQ.
  3. 1cdot(x,y) = (x,y).
  4. Associatividade de escalares: (lambdamu),(x,y) = lambda(mu(x,y)).
  5. Distributiva de escalares sobre vetores:
lambdal((x,y)+(x',y')r) = (lambda x+lambda x',,lambda y+lambda y') = lambda(x,y)+lambda(x',y'),
  1. Distributiva sobre escalares:
(lambda+mu)(x,y) = (lambda x+mu x,;lambda y+mu y) = lambda(x,y)+mu(x,y)
Todas as leis clássicas valem porque Q é corpo e a adição e multiplicação em Q satisfazem as mesmas leis.

Resposta

(4) No par (A,oplus,odot) todos os axiomas de espaço vetorial valem, exceto a associatividade da multiplicação por escalar e a distributiva (alpha+beta)odot x=alphaodot xoplusbetaodot x.
(5) Q^2, com as operações usuais e escalares em Q, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial e é, portanto, um espaço vetorial sobre Q.

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