Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial, a multiplicação escalar distribui-se também sobre a subtração, isto é, para todo escalar
e quaisquer vetores
e
vale
Vamos usar as propriedades de espaço vetorial: definição de subtração como soma com inverso e distributividade da multiplicação escalar sobre soma.
Passo 2
Lembrando que a subtração de vetores se define por
onde
é o inverso aditivo de
.
Passo 3
Aplicando a distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores, obtemos
Passo 4
Para simplificar
, usamos que
. Logo,
Mas
é justamente o inverso aditivo de
, ou seja,
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão de
, fica
Isso completa a demonstração.