Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores ue v, k(u-v)=ku-kv.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial, a multiplicação escalar distribui-se também sobre a subtração, isto é, para todo escalar k e quaisquer vetores u e v vale
k(u-v) = ku - kv
Vamos usar as propriedades de espaço vetorial: definição de subtração como soma com inverso e distributividade da multiplicação escalar sobre soma.

Passo 2

Lembrando que a subtração de vetores se define por
u-v = u + (-v),
onde -v é o inverso aditivo de v.

Passo 3

Aplicando a distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores, obtemos
k(u-v) = kl(u + (-v)r) = ku ;+; k(-v)

Passo 4

Para simplificar k(-v), usamos que -v = (-1)v. Logo,
k(-v) = kl((-1)vr) = (kcdot(-1)),v = (-k),v
Mas (-k)v é justamente o inverso aditivo de kv, ou seja,
(-k)v = -l(kvr)

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão de k(u-v), fica
k(u-v) = ku + l(-l(kvr)r) = ku - kv
Isso completa a demonstração.

Resposta

k(u-v) = ku - kv

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