Mostre que o conjunto das soluções da equação não-homogênea
, onde
, não forma um espaço vetorial.
Passo 1
Vamos chamar de
o conjunto de todas as soluções de
com
. O que precisamos mostrar é que
não satisfaz os axiomas de espaço vetorial, em particular a exigência de conter o vetor zero e de ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Teste do vetor nulo: se
fosse solução, teríamos
,
logo . Mas um espaço vetorial sempre deve conter o vetor zero. Portanto
já falha nesse ponto.
logo
Passo 3
Teste da clausura sob adição: tomemos
. Então
e
,
logo .
Isso mostra que , ou seja,
não é fechado sob soma.
logo
Isso mostra que
Resposta
O conjunto das soluções de
com
não contém o vetor zero e não é fechado sob soma, logo não forma um espaço vetorial.