(ENADE 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo
do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada (o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ). Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais,e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares A X=B, em que:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{c} 11 \\\\ 4 \\\\ 2 \end{array}\right] \text { e } X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que \operatorname{det}(A)=0.
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de 2 \% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A , possui uma coluna nula.
OBS.: Justifica a validade ou não de cada uma das alternativas!
Passo 1
O problema fornece o sistema A X = B, com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 11 \\\\ 4 \\\\ 2 \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix} x \\\ y \\\ z \end{pmatrix},
onde x é a vazão retirada em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, y é o custo em bilhões de reais e z é o número de habitantes beneficiados em milhões. Vamos resolver o sistema e verificar cada alternativa.
Análise das alternativas:
A) Falsa, pois \det(A) = -2 \neq 0, logo o sistema é determinado.
B) Falsa, pois z = 14 milhões, acima de 11 milhões.
C) Falsa, pois a retirada é \tfrac{30}{1850}\approx1,62\%, menor que 2\%.
D) Verdadeira, pois y = 4,5 bilhões, superior a 4 bilhões.
E) Falsa, já que A é invertível, sua forma escalonada não apresenta coluna nula.
Resposta
(D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.