Mostre que o conjunto
tem conteúdo zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
tem conteúdo zero. Em
, dizer que
tem conteúdo zero significa que, dado qualquer
, podemos cobrir
com um número finito de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos seja menor que
.
Passo 2
Seja
. Vamos dividir os pontos de
em duas partes: os primeiros
pontos e o “resto” dos pontos. Primeiro escolhemos um inteiro
tal que
Isso é possível pois
.
Passo 3
Para cada
, definimos um intervalo aberto em torno de
:
onde escolhemos
O comprimento de
é
Passo 4
Agora, para todos os pontos com índice
, temos
Logo todos esses pontos ficam dentro do intervalo
que tem comprimento
.
Passo 5
A coleção finita de intervalos
cobre todo
. De fato, cada
com
está em
e cada
com
está em
. O comprimento total é
Como
era arbitrário, isso mostra que
tem conteúdo zero.
Resposta
O conjunto
tem conteúdo zero.