Mostre que o conjunto X=\left\{\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\} tem conteúdo zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
X=\bigl\{1/n : n\in\mathbb{N}\bigr\}
tem conteúdo zero. Em \mathbb{R}, dizer que X tem conteúdo zero significa que, dado qualquer \varepsilon>0, podemos cobrir X com um número finito de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos seja menor que \varepsilon.

Passo 2

Seja \varepsilon>0. Vamos dividir os pontos de X em duas partes: os primeiros N pontos e o “resto” dos pontos. Primeiro escolhemos um inteiro N tal que
\frac{1}{N+1} < \frac{\varepsilon}{2}.
Isso é possível pois \lim_{N\to\infty}1/(N+1)=0.

Passo 3

Para cada n=1,2,\dots,N, definimos um intervalo aberto em torno de 1/n:
I_n = \Bigl(1/n - \delta_n,\;1/n + \delta_n\Bigr),
onde escolhemos
\delta_n = \frac{\varepsilon}{2^{\,n+2}}.
O comprimento de I_n é
|I_n| = 2\,\delta_n = \frac{\varepsilon}{2^{\,n+1}}.

Passo 4

Agora, para todos os pontos com índice n>N, temos
1/n \le \frac{1}{N+1} < \frac{\varepsilon}{2}.
Logo todos esses pontos ficam dentro do intervalo
J = \bigl(0,\;\tfrac{\varepsilon}{2}\bigr),
que tem comprimento |J|=\varepsilon/2.

Passo 5

A coleção finita de intervalos
I_1,\;I_2,\;\dots,\;I_N,\;J
cobre todo X. De fato, cada 1/n com n\le N está em I_n e cada 1/n com n>N está em J. O comprimento total é
\sum_{n=1}^{N} |I_n| \;+\; |J| = \sum_{n=1}^{N} \frac{\varepsilon}{2^{\,n+1}} \;+\;\frac{\varepsilon}{2} = \frac{\varepsilon}{2}\Bigl(1 - 2^{-N}\Bigr) + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.
Como \varepsilon era arbitrário, isso mostra que X tem conteúdo zero.

Resposta

O conjunto X=\{1/n:n\in\mathbb{N}\} tem conteúdo zero.

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